Faceți căutări pe acest blog

duminică, 21 februarie 2016

Un determinant de ordinul trei este cât trei determinanți de ordinul doi



O problemă grea poate fi descompusă în mai multe probleme ușoare (aceasta este cheia succesului!), iar un determinant urât poate fi descompus în mai mulți determinanți drăguți. Determinantul de ordinul trei $\Delta_1$, de care tot vorbim de câteva zile încoace, poate fi descompus în trei determinanți de ordinul doi (iar în general, un determinant de ordinul $N$ poate fi descompus în $N$ determinanți de ordin $N-1$).

Astfel, determinantul $$\Delta_1=\left|\begin{array}{ll} 1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&10\\ \end{array} \right|=-3$$ poate fi scris ca $$\Delta_1=1\cdot\left|\begin{array}{ll} 5&6\\ 8&10\\ \end{array} \right|-4\cdot\left|\begin{array}{ll} 2&3\\ 8&10\\ \end{array} \right|+7\cdot\left|\begin{array}{ll} 2&3\\ 5&6\\ \end{array} \right|.$$


Se spune că „am dezvoltat determinantul $\Delta_1$ după prima coloană”. Și cum am făcut asta? Observați că cei trei determinanți de ordinul doi care apar în dezvoltare au în fața lor câte un număr care se afla în prima coloană a determinantului inițial, mai exact, numerele $1$, $4$ și, respectiv, $7$. Asta înseamnă „dezvoltare după prima coloană”.

Mai observați că numerele din fața determinanților de ordinul doi au semne alternative, ca și pătrățelele de pe tabla de șah. Și întotdeauna, colțul din stânga-sus are semnul plus.

Și mai observați că din determinanții de ordinul doi lipsesc numerele din prima coloană și numerele de pe linia pe care se află numărul din fața determinantului. De exemplu, numărul $1$ din fața primului determinant se află pe prima linie și pe prima coloană, deci din determinantul de ordinul doi aflat lângă numărul $1$ vor lipsi numerele de pe prima linie și prima coloană. Apoi, numărul $4$ din fața celui de-al doilea determinant se află pe linia a doua și pe prima coloană, deci din determinant vor lipsi elementele din linia a doua și din prima coloană.


Desigur, putem dezvolta un determinant și după o linie, nu doar după o coloană. De exemplu, dezvoltarea determinantului $\Delta_1$ după linia a doua va fi $$\Delta_1=-4\cdot\left|\begin{array}{ll} 2&3\\ 8&10\\ \end{array} \right|+5\cdot\left|\begin{array}{ll} 1&3\\ 7&10\\ \end{array} \right|-6\cdot\left|\begin{array}{ll} 1&2\\ 7&8\\ \end{array} \right|.$$ Observați de unde am luat semnele!

Acum puteți înțelege de ce e bine să căutăm să dezvoltăm determinanții după linii sau coloane care conțin cât mai multe zerouri, căci un determinant cu zero în față nu mai trebuie calculat și dispare ca prin farmec. Mai mult, puteți înțelege și faptul că un determinant care conține pe o linie (sau pe o coloană) numai zerouri, va fi el însuși egal cu zero, căci dezvoltarea determinantului după acea linie va conține numai zerouri.


Dar oare un determinant de ordinul doi poate fi dezvoltat după determinanți de ordinul unu? Bineînțeles! De exemplu, determinantul $$\left|\begin{array}{ll} 5&6\\ 8&10\\ \end{array} \right|$$ poate fi dezvoltat după prima coloană și avem $$\left|\begin{array}{ll} 5&6\\ 8&10\\ \end{array} \right|=5\cdot\left|10\right|-8\cdot\left|6\right|.$$

Mai rămâne să clarificăm faptul că determinantul unui număr este numărul însuși, adică $\left|10\right|=10$ sau $\left|-13\right|=-13$, deci nu confundați determinantul de ordinul unu cu modulul.

Așadar, de-acum nu mai puteți spune că nu știți să calculați un determinant, de orice ordin ar fi el. Aveți mai sus toată șmecheria de care aveți nevoie.