Radical din doi este un număr irațional

În clasele foarte mici elevii învață numerele naturale, adică numerele pozitive și fără virgulă. Numerele $0$,     $1$,     $2$,     $3$ și așa mai departe sunt numere naturale.

În clasele mici elevii învață mai apoi și numerele întregi, adică numere care pot avea și minus, dar care rămân în continuare fără virgulă. Numerele $5$,      $-5$,      $0$,      $-3$ sunt numere întregi (chiar dacă unele dintre ele sunt și numere naturale).

Apoi încep să învețe și despre numerele raționale, adică numere care au și virgulă, dar o asemenea virgulă încât după virgulă trebuie să se repete ceva (un grup de cifre) mereu la fel. Numerele $-1$,     $0,7$,     $-\frac{2}{3}$,     $18^2$,     $0,1001001001001\dots$ sunt numere raționale (chiar dacă unele dintre ele sunt și numere întregi).

Să se demonstreze că inegalitatea $e^x\geqslant x+1$ este adevărată pentru orice număr real $x$.

Pentru a demonstra o inegalitate de acest gen cu metode de liceu avem la dispoziție legătura dintre monotonia unei funcții și derivată. Această legătură spune că dacă derivata funcției date este pozitivă, atunci funcția însăși este crescătoare.

Deși la prima vedere nu pare să ne ajute prea mult această informație pentru a demonstra inegalitatea cerută, vom vedea totuși că tabelul cu monotonia funcției este foarte prețios în acest caz. Și sunt mari șanse ca ori de câte ori vi se cere să demonstrați o inegalitate, tabelul cu monotonia unei funcții legate de acea inegalitate să fie baza demonstrației.

După cum ați observat deja (dacă ați observat, dar nu-i musai), pentru a demonstra o inegalitate avem nevoie întâi de o funcție. De o funcție legată de acea inegalitate. Și nu-i ușor să găsim o asemenea funcție cu care putem demonstra inegalitatea. Elevul care poate găsi o asemenea funcție este demn de a fi felicitat. 

Puncte de discontinuitate

Puncte de discontinuitate

Funcțiile pot fi continue sau discontinue (într-unul sau mai multe (chiar într-o infinitate de) puncte). Putem desena funcțiile continue fără a fi nevoiți să ridicăm creionul de pe hârtie. În schimb, funcțiile discontinue ne obligă să întrerupem undeva desenul lor, ne obligă să ridicăm creionul de pe hârtie și să începem desenul din altă parte, mai sus sau ceva mai jos de unde l-am lăsat.

Bineînțeles, desenul unei funcții este graficul ei, adică mulțimea punctelor din plan (căci discutăm despre funcțiile (de o singură variabilă) pe care le-ați învățat deja) care, prin intermediul funcției date, asociază punctelor de pe axa orizontală (axa absciselor) cel mult (și cel puțin, desigur) câte un punct de pe axa verticală.

Riguros vorbind, într-un punct de continuitate $x_0$ sunt satisfăcute următoarele două egalități de numere reale (deci și finite!): $$l_s(x_0)=f(x_0)=l_d(x_0),$$ unde cu $l_s(x_0)$ am notat limita la stânga a funcției în punctul $x_0$.

Iată graficul unei funcții continue oarecare:

Orice punct am alege pe axa OX (dacă funcția este definită pe toată axa OX), deasupra lui (sau dedesubt) se află cel mult un punct albastru de pe graficul funcției. 

Așadar, în timp ce funcțiile continue nu ne fac probleme cu desenul lor, funcțiile discontinue își cam fac de cap, „sărind” din loc în loc peste anumite valori de pe axa verticală a graficului. Altfel spus, într-un punct de discontinuitate găsim două sau mai multe puncte de pe axa verticală corespunzătoare punctului dat. Și cum o funcție nu mai este funcție dacă asociază unei abscise mai mult de un punct, rezultă că acolo funcția trebuie numită, oarecum impropriu, „funcție discontinuă”. Impropriu, căci acolo funcția efectiv nu mai este funcție.

Iată acum graficul unei funcții discontinue (cu punct de discontinuitate de prima speță) în punctul $x_0$:

În legătură cu aceste discontinuități, se nasc (doar) două cazuri posibile:

Calculați $i^i$.

Cum adică, să calculăm $i^i$? Ce trebuie să mai obținem din $i^i$? Nu este suficientă această formă? Doar știm că $i$ este o literă folosită pentru a-l scrie mai compact pe $\sqrt{-1}$. Atunci, se poate duce „mai departe” prin calcul expresia $i^i$, o literă la literă? Dacă ni s-ar fi cerut să calculăm $3125^{625}$, ce rezultat ar fi trebuit să prezentăm? Oare ni s-ar fi cerut să arătăm numărul acela lung, lung de tot dat prin $191101259794547752\dots 1680908203125$? Sau dacă ni s-ar fi cerut să calculăm $\sqrt{e}^{\ln 2}$, ce ni s-ar fi cerut de fapt, ni s-ar fi cerut numărul acela urât, $1,414213562373095\dots$?

Iată o mulțime de probleme pe care le putem pune în legătură cu ideea de a calcula ceva. Desigur, pentru un elev cu ceva intuiție matematică, a calcula va însemna a prezenta o ALTĂ formă a numărului dat, o formă ceva mai relevantă, mai compactă, mai condensată, mai elegantă, o formă la care se referă examinatorul cel cu ochi de vultur.

Derivata unei funcții este viteza ei

Așa cum vă spune și titlul, derivata unei funcții este viteza acestei funcții, adică, este viteza cu care se ridică graficul funcției, în timp ce el se deplasează și spre dreapta. Dacă graficul funcției coboară atunci când se deplasează spre dreapta, atunci derivata funcției este negativă, căci coborârea este de fapt ridicare negativă.

Dacă, graficul unei funcții se ridică mai mult decât graficul altei funcții (desenate în același sistem de referință XOY), atunci derivata primei funcții este mai mare decât derivata celei de-a doua funcții.

În figura de mai jos dreapta roșie este graficul funcției $f(x)=3x-1$, iar dreapta albastră este graficul funcției $g(x)=2x-1$.

Observați că dreapta roșie urcă mai repede decât dreapta albastră. Acest lucru se datorează faptului că derivata funcției $f(x)$ este mai mare decât derivata funcției $g(x)$. Derivata lui $3x-1$ este $3$, iar derivata lui $2x-1$ este $2$.


Tot astfel, parabola roșie coboară și urcă mai rapid decât parabola albastră, deoarece derivata funcției $f(x)=3x^2-1$ (în modul, deci, dacă facem abstracție de semn) este mai mare decât derivata funcției $g(x)=2x^2-1$.

Derivata lui $3x^2-1$ este $6x$, pe când derivata funcției $2x^2-1$ este $4x$.

Mai observați că viteza dreptelor de mai sus nu se schimbă nicăieri, indiferent în care loc măsurăm această viteză. În schimb, viteza unei parabole (a oricăreia dintre ele) depinde de locul (de $x$-ul) în care vrem să o determinăm. Astfel, în partea negativă a $x$-ilor, derivata parabolei este și ea negativă, iar parabola coboară, apoi urmează o porțiune în care parabola își încetinește mult coborârea, această coborâre anulându-se chiar când $x=0$, după care urmează urcarea nestăvilită cu o viteză din ce în ce mai mare. 

Putem spune că, spre deosebire de drepte, parabolele au și o „accelerație” nenulă, nu doar o „viteză”.

Aveți, așadar, o interpretare cinematică a derivatei, identică cu cea pe care s-a bazat Newton când a creat un aparat matematic cu derivate pe care să-l poată folosi în Fizică.

Teorema lui Pitagora generalizată se mai numește și „teorema cosinusurilor”

Teorema simplă a lui Pitagora este valabilă numai într-un triunghi special, triunghi care are un unghi drept, de 90 de grade. Într-un asemenea triunghi special, numit și „triunghi dreptunghic”, laturile acestuia au fiecare câte un nume special: cea mai mică latură se numește „cateta mică”, cea mai mare latură se numește „ipotenuză”, iar cealaltă latură rămasă se numește „cateta mare”.

Catetele (albastre) sunt laturile care formează unghiul drept. Altfel spus, unghiul drept se află între catete. Teorema lui Pitagora ne spune, în acest caz, că pătratul ipotenuzei este suma pătratelor catetelor. De exemplu, dacă lungimea catetei mici este 3, iar lungimea catetei mari este 4, atunci lungimea ipotenuzei este 5, pentru că $3^2+4^2=5^2$.
Cu notațiile din figura de mai sus, teorema lui Pitagora devine: $$a^2=b^2+c^2.$$

Dar matematicienii nu s-au mulțumit doar cu o relație între laturile unui triunghi dreptunghic, ci ei au căutat o relație între laturile oricărui triunghi, oricât de urât ar fi el. Mai exact, ei au căutat o formulă care să le dea a treia latură a triunghiului oarecare atunci când deja se cunosc celelalte două laturi, chiar dacă unghiul dintre cele două laturi nu este un unghi de 90 de grade.