Există oare vreo legătură între cele două (trei) entități de care vorbește titlul articolului nostru? Da, există o legătură admirabilă! Și ea ne este revelată de geometria analitică.
Pe scurt, geometria analitică ne spune că dacă știm coordonatele a două puncte, atunci mijlocul segmentului format de cele două puncte are ca și coordonate tocmai media aritmetică a coordonatelor respective ale celor două puncte.
De asemenea, dacă știm coordonatele a trei puncte, atunci coordonatele centrului (de greutate al) triunghiului format cu cele trei puncte este media aritmetică a coordonatelor corespunzătoare.
Fie $A(x_A;y_A)$ și $B(x_B;y_B)$ două puncte în plan. Notăm cu $M(x_M;y_M)$ mijlocul acestui segment. Cum mijlocul este media aritmetică a capetelor, avem
$$x_M=\frac{x_A+x_B}{2}$$ și $$y_M=\frac{y_A+y_B}{2}.$$
Să mai aducem un punct în plan, alături de punctele A și B, ca să putem discuta și despre centrul unui triunghi. Fie $C(x_C;y_C)$ acest nou punct (sper că nu l-ați ales chiar coliniar cu punctele A și B). S-a născut astfel un triunghi format de cele trei puncte. Vrem să discutăm despre centrul („mijlocul”) acestui triunghi.
Așa cum anticipați deja, centrul triunghiului este și el o medie aritmetică, precum a fost centrul unui segment. Haideți să concretizăm aceasta. Notăm cu $G(x_G;y_G)$ centrul (de greutate al) triunghiului sau „mijlocul” acestuia, așa cum ne place să fim mai direcți. Atunci, coordonatele acestui minunat punct sunt date în funcție de vârfurile („capetele”) triunghiului, astfel:
$$x_G=\frac{x_A+x_B+x_C}{3}$$ și $$y_G=\frac{y_A+y_B+y_C}{3}.$$
Observați că x-ul mijlocului este media aritmetică a x-urilor capetelor, iar y-ul mijlocului este media aritmetică a y-urilor capetelor. Deci, să nu amestecați valorile pentru x cu valori pentru y.
Ce vă spune intuiția despre centrul unui tetraedru (figură geometrică din spațiu formată cu patru puncte)? Nu cumva și el este o medie aritmetică? Răspunsul este afirmativ, desigur.
Mai mult, există încă o subtilitate care leagă centrul segmentului cu centrul triunghiului și cu centrul tetraedrului: centrul segmentului este la o doime de capăt, centrul triunghiului este la două treimi de capăt, iar centrul tetraedrului este la trei pătrimi de capăt (din mediană). Amănunte puteți găsi în articolul mai amănunțit dedicat acestui subiect.
Așa învățați mai bine matematică, făcând legături între cunoștințe matematice care par a fi disparate!
Niciun comentariu:
Trimiteți un comentariu
Exprimați-vă părerea despre articol sau cereți lămuriri suplimentare, ca să transmitem cât mai multă informație celor care au nevoie de ea.
Comentariul va apărea după un anumit interval de timp necesar moderării.