Faceți căutări pe acest blog

duminică, 24 august 2014

Teorema fundamentală a trigonometriei rezultă din teorema lui Pitagora


Teorema lui Pitagora ne spune că într-un triunghi dreptunghic pătratul celei mai mari laturi (latură care se numește ipotenuză) este suma pătratelor celorlalte două laturi mai mici (care se numesc catete).





Observați că vârfurile triunghiului sunt notate cu majuscule, iar laturile triunghiului sunt notate cu minuscule. De asemenea, mai observați că literele mici se opun literelor mari, deci o latură se notează cu litera mică corespunzătoare unghiului aflat departe de acea latură.

Cu aceste notații, teorema lui Pitagora devine $\color{red}{a^2=b^2+c^2}$.

Acum să ne amintim care era definiția sinusului și a cosinusului. Avem că
$$sinus=\frac{cateta\,opusă}{ipotenuză},$$
$$cosinus=\frac{cateta\,alăturată}{ipotenuză}.$$

Cu litere, avem relațiile posibile
$$\sin B=\frac{b}{a},$$
$$\sin C=\frac{c}{a},$$
$$\cos B=\frac{c}{a},$$
$$\cos C=\frac{b}{a}.$$
Observați cu această ocazie că sinusul unui unghi este egal cu cosinusul celuilalt unghi. Această proprietate poate fi scrisă mai pompos sub forma
$$\sin(90-x)=\cos x.$$

Acum, vrem să vedem cât este $\sin^2 B+\cos^2 B$, precum și cât este $\sin^2 C+\cos^2 C$. Pentru aceasta ne vom folosi de relațiile date mai sus, inclusiv de teorema lui Pitagora. Avem întâi
$$\sin^2 B+\cos^2 B=\frac{b^2}{a^2}+\frac{c^2}{a^2}=\frac{b^2+c^2}{a^2}=\frac{a^2}{a^2}=1.$$
Apoi, mai avem și
$$\sin^2 C+\cos^2 C=\frac{c^2}{a^2}+\frac{b^2}{a^2}=\frac{c^2+b^2}{a^2}=\frac{a^2}{a^2}=1.$$
Așadar, oricare ar fi unghiul $B$ sau $C$, putem scrie relația
$$\color{red}{\sin^2x+\cos^2x=1}.$$
Aceasta este formula fundamentală a trigonometriei. După cum vedeți, ea rezultă din teorema lui Pitagora. Prin urmare, este cam tot la fel de importantă. Ea ne mai spune, printre altele, că dacă cunoaștem sinus, atunci putem să aflăm cât este cosinus. Și reciproc.