Faceți căutări pe acest blog

luni, 19 ianuarie 2015

Varianta model pentru bacalaureat, 2015, mate-info (M1), subiectul I, problema 6


Determinați raza cercului circumscris triunghiului $ABC$ știind că $AB=12$ și că unghiul $C$ are $\frac{\pi}{6}$ radiani.


În primul rând, trebuie să ne amintim rapid cam ce cunoștințe am învățat noi în legătură cu raza cercului circumscris. Ce relații matematice cunoașteți în legătură cu $R$ mare ($r$ mic fiind raza cercului mic, adică a cercului înscris în triunghi)?

Ar fi bine să vă amintiți teorema sinusurilor, că nu-i grea. Ea ne spune că pentru triunghiul oarecare albastru din figura de mai jos

și cercul său circumscris desenat cu roșu există următorul set de egalități
$$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R.$$

Acest set de egalități se numește „teorema sinusurilor”.

Dacă nu cunoașteți această teoremă la bac, ați încurcat-o! Pentru că nu văd pe unde v-ați mai putea scoate cămașa ca să rezolvați această minunăție de problemă. Dar și invers, dacă știți această teoremă ușor de reținut, atunci sunteți câștigați, căci aveți tot ce vă trebuie pentru a rezolva problema.



Problema noastră ne dă drept cunoscute pe $AB$ (deci pe $c$ mic) și unghiul $C$ mare și ne cere raza $R$ mare. Așadar, din teorema sinusurilor noi vom reține doar ceea ce implică aceste date, adică vom reține egalitatea
$$\frac{c}{\sin C}=2R.$$

Făcând înlocuirile, avem
$$\frac{12}{\sin\frac{\pi}{6}}=2R.$$

Dar cât este $\sin\frac{\pi}{6}$? Cum unghiul de $\pi$ în radiani este echivalent cu unghiul de $180$ de grade, rezultă că unghiul de $\frac{\pi}{6}$ este echivalent cu unghiul de $\frac{180}{6}$, deci cu $30$ de grade. Așadar, ne trebuie sinusul unghiului de $30$ de grade. Dar, din tabelul trigonometric



număr
0
1
2
3
4
gradele
0
30
45
60
90
sinusul=$\frac{\sqrt{\text{număr}}}{2}$
$\frac{\sqrt{0}}{2}=0$
$\frac{\sqrt{1}}{2}=\frac 1 2$
$\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\frac{\sqrt{4}}{2}=1$

noi știm astfel că $\sin 30=\frac{1}{2}$.

Revenind atunci la formula noastră de calculat,
$$\frac{12}{\sin\frac{\pi}{6}}=2R,$$
avem o fracție supra-etajată pe care o transformăm înmulțind cu răsturnata
$$2R=\frac{12}{\frac{1}{2}}=12\cdot \frac{2}{1}=24.$$

De aici rezultă apoi că
$$R=\frac{24}{2}=\color{red}{12}.$$



Adică, raza cercului circumscris triunghiului este tocmai egală cu latura $AB$. Asta mai înseamnă (ca exemplu, deci nu-i musai să mai adăugați asta la bac) că triunghiul $ABO$ este echilateral, $O$ fiind centrul cercului circumscris. Această adăugire are menirea să vă arate cam care ar fi fost metoda de rezolvare bazată pe noțiunea de „unghi la centru” și pe faptul că acest unghi la centru este dublu față de unghiul de pe cerc.