Faceți căutări pe acest blog

duminică, 18 ianuarie 2015

Varianta model pentru bacalaureat, 2015, mate-info (M1), subiectul I, problema 5


În reperul cartezian $xOy$ se consideră dreapta $d$ de ecuație $y=3x+5$ și punctul $A(1,0)$. Găsiți ecuația paralelei duse prin $A$ la dreapta $d$.


Pentru a rezolva această problemă elevului trebuie să-i sară în minte o cunoștință indispensabilă: ecuația dreptei de pantă dată care trece printr-un punct dat. Fără această cunoștință, rezolvarea devine un chin și nu putem insista într-o asemenea direcție greșită. Dacă am continua să ne chinuim, în cel mai bun caz, am putea redescoperi această cunoștință elementară și indispensabilă.

Așadar, haideți să vedem despre ce cunoștință este vorba, mai concret. Deci, care este ecuația dreptei de pantă $m$ care trece prin punctul $A(x_0,y_0)$?

Iat-o: $y-y_0=m(x-x_0)$. Ea mai poate fi regăsită și sub forma echivalentă $$\frac{y-y_0}{x-x_0}=m,$$ iar această ultimă formă ne aduce aminte de legătura cu derivata sau cu tangenta unghiului pe care îl face dreapta cu axa $OX$. În ultimă instanță, panta este tocmai acest lucru: tangenta unghiului pe care îl face dreapta cu axa absciselor.

De aici încolo nu ne mai trebuie altceva decât să facem înlocuirile. De fapt, pardon. Mai trebuie să știm ceva: că două drepte paralele au aceeași pantă! Evident, nu? Aaaa, și mai trebuie să știm că panta unei drepte dată sub forma $y=mx+n$ este tocmai coeficientul lui $x$. Mamăăăă, câte mai trebuie să știm!

Deci, o mică recapitulare. În problemă ni se dă o dreaptă tocmai sub forma minunată (i se mai spune „forma redusă”) pentru ecuația unei drepte $y=3x+5$. Deci, coeficientul lui $x$ este 3, deci panta acestei drepte este $m=3$. Și cum cunoaștem ecuația dreptei care trece printr-un punct $A(x_0, y_0)$ și are panta $m$, ne rămâne să facem înlocuirile.

Așadar, ecuația dreptei căutate este $y-0=3(x-1)$, adică $\color{red}{y=3x-3}$.

Putem face și o probă. Să vedem dacă punctul $A(1,0)$ aparține acestei drepte. Dacă în ecuația dreptei unde vedem $x$ punem $1$ și unde vedem $y$ punem $0$, trebuie să obținem un adevăr. Ian să vedem. $0=3\cdot 1-3$. Adevărat? Adevărat! Și panta este aceeași cu a dreptei date, căci coeficientul lui $x$ este același în ambele cazuri, deci dreptele sunt paralele.

Observați că ecuația dreptei căutate nu a depins de $5$.