Faceți căutări pe acest blog

sâmbătă, 23 iulie 2016

Mate-info 2016, subiectul I, problema 5


În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(-1,0)$, $B(1,0)$ și $C(1,4)$. Determinați ecuația dreptei care trece prin punctul $B$ și este paralelă cu mediana din $A$ a triunghiului $ABC$.

Se cere ecuația unei drepte. Și se dau niște puncte, cu coordonatele lor. Deci, suntem la geometrie analitică. Ne gândim ce știm despre ecuația dreptei în geometria analitică. Ne amintim ce este mediana. Ne gândim ce știm despre paralelism în geometria analitică. Avem cam zece minute de problemă. Ne apucăm de treabă relaxați și calmi. Facem un pic de ordine în haosul aparent. Ce avem de găsit întâi?



Dacă citim cu atenție problema, observăm că ne trebuie ecuația unei drepte ce trece printr-un punct, punctul $B$. Și cum printr-un punct pot trece o infinitate de drepte, e clar că dreapta noastră mai trebuie să țină seama de o proprietate. De altfel, în teorie, ca să găsim ecuația unei drepte ce trece printr-un punct, ne mai trebuie și panta dreptei. Și atunci folosim formula din teorie, care ne dă ecuația dreptei ce trece printr-un punct și are o anumită pantă: $$\color{blue}{y-y_0=m(x-x_0)},$$ unde $x_0$ și $y_0$ sunt coordonatele punctului prin care trebuie să treacă dreapta, iar $m$ este panta pe care trebuie să o aibă panta. Dacă nu știm această formulă, am cam bulit-o de data aceasta, așa că mai bine s-o știm.

Presupunând că suntem fericiți și știm formula, gândim mai departe. Ce facem cu această formulă? Ar trebui s-o aplicăm, adică să înlocuim în ea valorile pe care le avem noi. Noi avem coordonatele lui $B$, dar încă nu avem panta. Așadar, va trebui să investim ceva energie mentală pentru a găsi panta. Cum am putea găsi panta?

Informația despre pantă este ascunsă în faptul că dreapta trebuie să fie paralelă cu altă dreaptă. Din fericire, două drepte paralele au aceeași pantă. Așadar, va fi suficient să găsim panta celeilalte drepte și o vom copia pentru dreapta noastră.

Haideți să găsim atunci panta celeilalte drepte. Cealaltă dreaptă este o mediană. Ce este mediana? Altă cunoștință de care trebuie să ne amintim... Mediana este dreapta care unește un vârf al triunghiului cu mijlocul laturii opuse. Deci, mediana dată este o dreaptă care trece prin punctul $A$ și prin mijlocul laturii opuse lui $A$, adică latura $BC$. Și ca să-i găsim panta, trebuie să ne mai amintim de formula care ne dă panta unei drepte ce trece prin două puncte. Da, da, există și așa ceva. Iată formula pantei: $$\color{blue}{m=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}}.$$ Observați că panta dreptei depinde, așa cum e și firesc, numai și numai de coordonatele celor două puncte. Dar, atenție, la numărător avem $y$, iar la numitor avem $x$! De asemenea, dacă am început sus cu $y_1$, atunci și jos vom începe cu $x_1$.

Buuun. Dar, vai, avem primul punct prin care trece mediana (punctul $A$), dar nu avem al doilea punct. Care sunt coordonatele mijlocului laturii $BC$? Din nou mai trebuie să ne amintim că mijlocul unui segment are coordonatele date de media aritmetică a capetelor segmentului. Dacă notăm cu $M$ mijlocul laturii $BC$ și cu $x_M$, respectiv, $y_M$ coordonatele sale, atunci avem $$x_M=\frac{x_B+x_C}{2}=\frac{1+1}{2}=1,$$ $$y_M=\frac{y_B+y_C}{2}=\frac{0+4}{2}=2.$$

Deci, $M(1,2)$. Avem acum și coordonatele mijlocului. Hmmm.... Oare terminăm în zece minute? Ce mai avem de făcut? Aaaa, da, să determinăm panta. Aplicăm formula de mai sus, $$m=\frac{y_A-y_M}{x_A-x_M}=\frac{-1-1}{0-2}=\frac{-2}{-2}=1.$$ O pantă faină. Avem panta. Yupppiiii!

Ce ne mai trebuie? Ecuația dreptei cerute. Ne reamintim acum ecuația dreptei care trece printr-un punct și are panta dată:  $$\color{blue}{y-y_0=m(x-x_0)},$$. Acum știm cât este panta și știm și coordonatele punctului prin care trebuie să treacă dreapta. Înlocuind, obținem atunci: $$y-0=1\cdot(x-1),$$  adică $$\color{red}{y=x-1}. $$