Faceți căutări pe acest blog

joi, 15 ianuarie 2015

Varianta model pentru bacalaureat, 2015, mate-info (M1), subiectul I, problema 4


Calculați probabilitatea ca alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie divizibil cu 13.


Din punctul de vedere al cunoștințelor pe care le-ați acumulat în liceu, probabilitatea este un număr mai mic sau egal cu $1$ (niciodată supraunitar!) dat de o fracție care conține la numărător (sus) un număr mai mic numit „numărul cazurilor favorabile”, iar la numitor numărul maxim, numit „numărul cazurilor posibile”.

Deci, $P=\frac{\text{numărul cazurilor favorabile}}{\text{numărul cazurilor posibile}}$.

Ne mai rămâne să determinăm concret aceste numere care apar în expresia probabilității.

Începem cu „mulțimea numerelor naturale de două cifre”. Câte asemenea numere naturale sunt? Asta-i întrebarea inițială. Procedăm sistematic. Numere naturale de două cifre care să înceapă cu $0$ nu avem. Așadar, avem doar numere naturale care încep cu cifrele $1,\,2,\,3,\dots,\,9$. Deci, în locul primei cifre, care este cifra zecilor, se pot afla doar 9 cifre, căci cifra $0$ nu se poate afla acolo. În schimb, în locul cifrei unităților se poate afla și cifra $0$, în total zece cifre. Deci, pentru fiecare cifră a zecilor, avem câte zece numere posibile corespunzătoare. Și cum sunt în total 9 cifre în locul cifrei zecilor, obținem că există în total $9\cdot 10=\color{red}{90}$ posibilități în care putem construi numere naturale de două cifre. Astfel, numitorul probabilității este determinat.

Să trecem acum la partea care este, de regulă, ceva mai grea, și anume la determinarea numărătorului probabilității. Trebuie să căutăm câte numere de două cifre divizibile cu 13 sunt. Se pare că, decât să ne chinuim cu cine știe ce metode generale pentru a afla multiplii lui 13, este mai ușor să enumerăm aceste numere, căci nu sunt multe. Sunt tocmai multiplii lui 13 care nu depășesc suta. Așadar, multiplii lui 13 care sunt mai mici decât 100 sunt $13,\,26,\,39,\,52,\,65,\,78\text{ și }91$. În total, avem $\color{red}{7}$ asemenea multipli.

Atunci, probabilitatea căutată va fi $$\color{red}{P=\frac{7}{90}}.$$