Faceți căutări pe acest blog

sâmbătă, 31 octombrie 2015

Numere pitagoreice


Printre triunghiurile dreptunghice cu care vă veți întâlni până la bacalaureat există un tip (triunghiuri dreptunghice pitagoreice, cu laturi date de numere pitagoreice) despre care aș vrea să vă vorbesc în acest articol.

Triunghiul dreptunghic are o singură proprietate fundamentală (din care pot fi deduse celelalte): are un unghi drept (adică, un unghi de 90 de grade). Atât. Dacă întâlniți un triunghi cu un unghi de 90 de grade, atunci puteți spune liniștiți despre acel triunghi că este triunghi dreptunghic




Și va rezulta automat că celelalte două unghiuri rămase ale triunghiului dreptunghic sunt mai mici de 90 de grade (căci suma unghiurilor unui triunghi trebuie să fie 180 de grade).


Așa cum are un unghi special (de 90 de grade), triunghiul dreptunghic are și o latură specială (latura opusă unghiului de 90 de grade). Această latură se numește ipotenuză. Și, așa cum unghiul drept este cel mai mare unghi din triunghiul dreptunghic, tot așa ipotenuza este cea mai mare latură a triunghiului.

Cele două laturi mici, rămase, diferite de ipotenuză, se numesc catete. Catetele sunt laturile care îmbracă unghiul de 90 de grade și nu pot fi confundate nicicum cu ipotenuza, care este una singură și mai mare decât catetele. În figura noastră, unghiul drept este unghiul A, iar catetele sunt laturile b și c sau, ceea ce este totuna, AC și AB. Observați proprietățile literelor: latura AC este totuna cu latura b (litera care lipsește din AC), iar latura AB este totuna cu latura c (litera care lipsește din AB).

Până aici n-am spus ceva foarte interesant, pentru că nu apare nimic cantitativ în considerațiile de mai sus. Interesantul abia acum urmează, pentru că vom vorbi despre niște proprietăți cantitative remarcabile în legătură cu triunghiul dreptunghic, proprietăți descoperite de oameni mari.

Prima proprietate, cu care vă întâlniți foarte des când este vorba despre triunghiul dreptunghic, este teorema lui Pitagora. Pitagora ne-a învățat că ipotenuza este aproape cât suma catetelor. Mai exact, ipotenuza la puterea a doua este totuna cu catetele la puterea a doua, adunate între ele. Așadar, teorema lui Pitagora spune că 
$$\color{red}{a}^2=\color{blue}{b}^2+\color{blue}{c}^2.$$

Cu această relație putem afla ușor orice latură a triunghiului dreptunghic, dacă le cunoaștem deja pe celelalte două. Astfel, pentru a găsi ipotenuza, vom aduna catetele. Bineînțeles, la puterea a doua. Pentru a găsi una dintre catete, vom scădea cealaltă catetă din ipotenuză. Bineînțeles, toate laturile trebuie să apară la puterea a doua, căci numai așa este valabilă teorema.

Nu uitați, această teoremă simplă este valabilă doar în triunghiul dreptunghic deși există o teoremă foarte asemănătoare (care se numește teorema lui Pitagora generalizată), valabilă în orice triunghi, chiar dacă triunghiul nu este dreptunghic.

Dacă până aici n-am găsit nimic tare frumos (deși pentru unii elevi chiar și teorema lui Pitagora este fascinantă, în simplitatea ei), în schimb, urmează să vă vorbesc acum despre numerele pitagoreice, numere care îl ung la suflet chiar și pe cel mai supărat elev pe matematică. Cam toți elevii cărora le-am povestit despre aceste numere au ridicat din sprâncene încântați și am mari speranțe că vă vor încânta și pe voi.

Deci, ce sunt numerele pitagoreice? Aș putea să vă răspund simplu: sunt oarece numere naturale pe care le putem pune pe laturile triunghiului dreptunghic, deci numere fără virgulă. De exemplu, numerele naturale $3$, $4$ și $5$ sunt numere pitagoreice.

Atunci m-ați putea întreba dacă toate numerele naturale sunt numere pitagoreice. Desigur, nu. Ci, în primul rând, numai câte trei („câte trei”-uri care se numesc „triplete”), căci triunghiul dreptunghic are trei laturi și pe fiecare latură punem un număr natural (care să reprezinte lungimea laturii respective). 

Atunci m-ați putea întreba dacă toate tripletele de numere naturale sunt numere pitagoreice. Din nou, răspunsul este negativ, căci dacă punem, de exemplu, numerele $1$, $2$ și $3$ pe laturile triunghiului nu obținem teorema lui Pitagora cu ele, adică $1^2+2^2\color{red}{\neq}3^2$.

Din noianul infinit de triplete cu numere pitagoreice, aș vrea să rețineți măcar următoarele trei triplete, căci ele apar cel mai des în probleme, fiind numere mici:
$$(\color{blue}{3},\color{blue}{4},\color{red}{5}),$$
$$(\color{blue}{5},\color{blue}{12},\color{red}{13})$$
și
$$(\color{blue}{8},\color{blue}{15},\color{red}{17}).$$

Dacă vi se par prea multe astea trei, atunci rețineți-le doar pe primele două. Iar dacă și două vi se par multe, atunci rețineți-l doar pe primul, căci primul este folosit în marea majoritate a cazurilor.

Iar dacă vi se par prea puține, atunci alegeți voi la întâmplare două numere naturale, unul mai mare decât celălalt, de exemplu $p$ mai mare decât $q$, și apoi construiți cu aceste două numere naturale alte trei numere naturale care să reprezinte laturile triunghiului dreptunghic. Prima catetă va fi $\color{blue}{b=p^2-q^2}$, a doua catetă va fi $\color{blue}{c=2pq}$, iar ipotenuza va fi $\color{red}{a=p^2+q^2}$.


Acum să vedem la ce sunt bune aceste complicații. La ce sunt bune numerele pitagoreice? Pentru aceasta, să zicem că vi s-ar da un triunghi dreptunghic și cele două catete ale sale, una fiind de lungime $3$, cealaltă de lungime $4$. Și vi se cere lungimea ipotenuzei.

Dacă n-ați ști că aceste două numere ($3$ și $4$) fac parte dintr-un set pitagoreic, atunci v-ați apuca să calculați ipotenuza cu ajutorul teoremei lui Pitagora, adică ați scrie $a^2=b^2+c^2=3^2+4^2=9+16=25$. Cum pătratul ipotenuzei este, deci, $25$, rezultă că ipotenuza este radicalul acestui rezultat, adică $a=\sqrt{25}=5$. Deci, obțineți acel $\color{red}{5}$ care se regăsește în primul set pitagoreic despre care v-am vorbit mai sus.

La fel, dacă în triunghiul respectiv vi s-ar da o catetă $3$ și ipotenuza $5$, atunci ați putea găsi direct că cea de-a doua catetă este $\color{blue}{4}$, deoarece $4$ face parte din același set pitagoreic ca și $3$ și $5$.

Dar lucrurile sunt chiar mai utile de-atât! Pentru că dacă aveți setul pitagoreic $(3,4,5)$, atunci automat aveți și setul pitagoreic $(6,8,10)$, adică format cu dublul numerelor pitagoreice din primul set. De aici puteți afla, de exemplu, că $6^2+8^2=10^2$.

 Și, bineînțeles, puteți să formați un set și cu triplul acestor numere sau cu orice alt multiplu doriți voi.

Așadar, dacă primiți un triunghi dreptunghic și vi se dau două laturi ale sale, atunci aruncați un ochi la valorile acelor laturi ca să vedeți dacă nu cumva ele fac parte dintr-un set pitagoreic. Iar dacă răspunsul este afirmativ, atunci înseamnă că ați găsit și cea de-a treia latură fără să mai faceți nici măcar un calcul.

Mnoa, nu-i așe că-i faină matematica? :D