Din bunătățile formulei lui Moivre

În liceu, după ce învățați numerele complexe (alea de forma $z=a+bi$, cu $i=\sqrt{-1}$), vine și vremea în care primiți cadou această formulă tulburătoare, ce ne spune că 
$$\large\color{red}{\boxed{(\cos x+i\sin x)^n=\cos nx+i\sin nx}}!!!$$Doamne, dumnezeule, ce formulă! Ea este aproape la fel de tare ca și formula mai generală a lui Euler (din care poate fi dedusă foarte ușor această formulă a lui Moivre). 

Ce geniu trebuie să ai în sânge ca să descoperi o asemenea formulă?! Cât de sus trebuie să fii cu capul în nori ca să poți ajunge la o asemenea formulă?! Cât de ciudat și chiar nebun trebuie să apari în ochii celorlalți oameni banali care-și duc veacul căutând nimicuri?!

Dedic acest articol anonimului care, într-un comentariu recent pe blog, amplasat exact unde trebuia, m-a stârnit să scriu despre formula lui Moivre, întrebându-mă cum ar putea reține mai ușor valorile pentru funcțiile trigonometrice surori, cosinus și sinus.


După ce am lăudat-o atâta, haideți să vedem la ce este bună această formulă. Pentru început, îi voi răspunde direct anonimului, luând ca exemplu de calcul triplul unui unghi, lăsându-vă vouă, de exemplu, dublul unghiului, care este, desigur, mai ușor de calculat.

Mai exact, să presupunem că dorim să știm sau să ne reamintim cât este $\color{lightgreen}{\cos 3x}$ sau $\color{magenta}{\sin 3x}$.

Cu formula lui Moivre, avem relația 
$$\cos 3x+i\sin 3x=(\cos x+i\sin x)^3.$$ Acum să vedeți ce minune! Să vedeți cum vom afla cât este cosinusul și sinusul triplului unui unghi (atunci când cunoaștem, desigur, cosinusul și sinusul unghiului dat, adică netriplat).

În partea stângă a egalității $\cos 3x+i\sin 3x=(\cos x+i\sin x)^3$ nu putem face mare brânză, așa că ne vom ocupa de partea din dreapta. Acolo putem să ridicăm efectiv la puterea a treia acel binom, după formula
$$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3.$$

Avem atunci
$(\cos x+i\sin x)^3=\cos^3x+3\cos^2x(i\sin x)+$
$+3\cos x(i\sin x)^2+(i\sin x)^3.$

Dar $(i\sin x)^2=i^2\sin^2x=-\sin^2x$, căci $i^2=-1$. 


De asemenea, $(i\sin x)^3=i^3\sin^3x=i^2\cdot i\sin^3x=-i\sin^3x$. Așadar, în total avem
$(\cos x+i\sin x)^3=\cos^3x+3\cos^2x\sin x\cdot i-$
$-3\cos x\sin^2x-i\sin^3x$.
Acum, grupând termenii asemenea (ducându-i pe cei fără i în partea stângă, iar pe cei cu i în partea dreaptă), obținem

$\color{blue}{(\cos x+i\sin x)^3}=(\cos^3x-3\cos x\sin^2x)+$

$+i(3\cos^2x\sin x-\sin^3x)$.




Dar formula lui Moivre ne spune că în loc de $(\cos x+i\sin x)^3$ putem pune de fapt $\cos 3x+i\sin 3x$. Prin urmare, rezultatul anterior se poate scrie ca

$\color{blue}{\cos 3x+i\sin 3x}=(\cos^3x-3\cos x\sin^2x)+$

$+i\cdot(3\cos^2x\sin x-\sin^3x)$.

Dar două numere complexe $z=a+bi$ și $w=c+di$ sunt egale dacă și numai dacă partea reală a unuia este egală cu partea reală a celuilalt și, totodată, partea imaginară a unuia este egală cu partea imaginară a celuilalt, adică o egalitate de numere complexe implică două egalități de numere reale. În exemplul acesta simplu, din egalitatea $z=w$ rezultă egalitățile $a=c$ și $b=d$.

Atunci, rezultatul trigonometric obținut poate fi scris acum sub forma

$\color{lightgreen}{\cos 3x}+i\color{magenta}{\sin 3x}=\color{lightgreen}{\cos^3x-3\cos x\sin^2x}+$
$+i\cdot(\color{magenta}{3\cos^2x\sin x-\sin^3x})$.

Și, mai clar, obținem deci separat cele două formule trigonometrice urâte și greu de reținut (cel puțin pentru mine) ale triplului unui unghi:

$\color{lightgreen}{\cos 3x}=\color{lightgreen}{\cos^3x-3\cos x\sin^2x}$,

$\color{magenta}{\sin 3x}=\color{magenta}{3\cos^2x\sin x-\sin^3x}$.

Așadar, facem o mică recapitulare. Dacă vrem să scăpăm de chinul memorării unor porcării de formule trigonometrice extrem de complicate, atunci avem nevoie să știm trei lucruri mai simple sau măcar mai importante:

1. Remarcabila formulă a dragului nostru Moivre.
2. Dezvoltarea binomului lui Newton, la puterea dorită (în cazul nostru am dezvoltat binomul la puterea a treia, $(a+b)^3$ și apoi am grupat termenii care nu l-au conținut pe i și pe cei care l-au conținut).
3. Implicația conform căreia din egalitatea a două numere complexe rezultă și egalitatea părților lor reale și imaginare.

Și cu aceasta sper că ți-am răspuns suficient de clar, anonimule! Nu-i așa? :)