Faceți căutări pe acest blog

vineri, 2 octombrie 2015

Funcție impară


Să se arate că funcția $f:(-\sqrt[3]{2},\sqrt[3]{2})\to\mathbb{R}$, dată prin legea $f(x)=\ln\frac{2+x^3}{2-x^3}$ este impară.


Primul hop pe care trebuie să-l treacă un elev izbit cu această problemă este dat de efortul de a-și reaminti ce este funcția impară (și, bineînțeles, cu această ocazie își va reaminti și ce este funcția pară).

O funcție $f(x)$ este impară dacă ea are proprietatea că $f(-x)=-f(x)$. Observați că nu e mare filozofie. Totul este să calculați cele două lucruri care apar într-o parte și într-alta a semnului „egal” și să vedeți dacă cele două calcule coincid.


De asemenea, dacă tot vine vorba, se zice că o funcție este pară dacă ea are proprietatea că $f(-x)=f(x)$.

Un exemplu fain de funcție impară este $f(x)=2x$. Să vedem de ce. Păi, întâi calculăm $f(-x)=2\cdot(-x)=-2x$. Apoi calculăm $-f(x)=-(2x)=-2x$. Și constatăm că obținem unul și același lucru. Așadar, funcția este impară.

Iar ca exemplu fain de funcție pară ar fi să zicem $f(x)=3x^2$. Această funcție este pară deoarece $f(-x)=3\cdot(-x)^2=3x^2=f(x)$.

Așadar, nu e mare filozofie cu funcția pară și impară. Important este să calculăm $f(-x)$ și să vedem dacă ne dă $f(x)$ cu semn schimbat (caz în care funcția este impară) sau ne dă tocmai $f(x)$ (caz în care funcția este pară).

Așa cum există numere care nu sunt nici pare și nici impare (de exemplu, $\sqrt{2}$), tot astfel, există funcții care nu sunt nici pare și nici impare. De exemplu, funcția $f(x)=x+1$ nu este nici pară și nici impară. Căci, dacă vom calcula $f(-x)=-x+1$, vom constata că rezultatul nu este nici $f(x)=x+1$ (deci funcția nu este nici pară) și nu este nici $-f(x)=-x-1$ (deci funcția nu este nici impară).



Acesta a fost primul hop. Acum că am trecut de el și că ne-am reamintit ce este o funcție impară, trecem la cel de-al doilea hop, care va apărea în timpul calculelor. Haideți să calculăm.

Ce calculăm? Bineînțeles, pe $f(-x)$. Numai calculând acest lucru vom putea stabili dacă funcția noastră este impară, așa cum se cere să arătăm. Deci, $$f(-x)=\ln\frac{2+(-x)^3}{2-(-x^3)}.$$

Și cum $(-x)^3=(-x)\cdot(-x)\cdot(-x)=-x^3$, obținem atunci că $$f(-x)=\ln\frac{2-x^3}{2+x^3}.$$ Uau, ce fain! Adică am obținut un fel de $f(x)$, numai că fracția care apare este răsturnată. Hmmm... Răsturnată... Urmează, deci, cel de-al doilea hop.

Acum, elevul trebuie să cunoască o proprietate importantă a fracțiilor răsturnate. Mai exact, elevul trebuie să știe acum că $$\color{green}{\frac{a}{b}=\left(\frac{b}{a}\right)^{-1}}.$$

Cunoscând această proprietate, elevul va putea scrie mai departe că $$f(-x)=\ln\frac{2-x^3}{2+x^3}=\ln\left(\frac{2+x^3}{2-x^3}\right)^{-1}.$$ Și, atenție, această proprietate este, desigur, valabilă pentru toți logaritmii (indiferent de baza lor), nu doar pentru logaritmul natural (care are baza $e=2,7182818...$).

Ok. Dar încă nu am terminat. Acum elevul mai are un hop de trecut. El trebuie să știe acum că puterea din argumentul logaritmului poate ieși în față. Adică, avem proprietatea puternică dată de $$\ln a^b=b\cdot\ln a.$$ Această proprietate pune capac problemei. Căci avem atunci
$$\color{blue}{f(-x)}=\ln\frac{2-x^3}{2+x^3}=\ln\left(\frac{2+x^3}{2-x^3}\right)^{-1}=-\ln\frac{2+x^3}{2-x^3}=\color{blue}{-f(x)},$$ adică exact așa cum trebuie să avem în cazul unei funcții impare.