În articolul precedent am dat exemplul prin care, cu ajutorul formulei lui Moivre, am calculat ușor cosinusul și sinusul triplului unui unghi.
Voi arăta în acest articol cum se mai poate calcula sinusul triplului folosind o altă metodă, aceea bazată pe formula de calcul al sinusului sumei a două unghiuri.
Noi cunoaștem deja această formulă. Mai exact, știm că avem
sin(a±b)=sinacosb±cosasinb.
Având această formulă în față putem să ne apucăm să calculăm deocamdată sinusul dublului unghiului.
Cum putem să calculăm dublul când cunoaștem suma? Simplu: în loc de a+b vom pune a+a, adică 2a, deci 2a=a+a.
Voi arăta în acest articol cum se mai poate calcula sinusul triplului folosind o altă metodă, aceea bazată pe formula de calcul al sinusului sumei a două unghiuri.
Noi cunoaștem deja această formulă. Mai exact, știm că avem
sin(a±b)=sinacosb±cosasinb.
Având această formulă în față putem să ne apucăm să calculăm deocamdată sinusul dublului unghiului.
Cum putem să calculăm dublul când cunoaștem suma? Simplu: în loc de a+b vom pune a+a, adică 2a, deci 2a=a+a.
Trecem, deci, la treabă. Obținem
sin(2a)=sin(a+a)=sinacosa+cosasina.
Și cum înmulțirea este comutativă, avem cosasina=sinacosa.
Aşadar,
sin(2a)=sinacosa+sinacosa.
Acum observați că în partea dreaptă a egalității avem doi termeni pur și simplu egali scriși de două ori pe care îi putem scrie o singură dată cu un 2 în față.
Deci,
sin(2a)=2sinacosa.
Avem astfel sinusul dublului. Acum putem calcula sinusul triplului, aplicând aceeași metodă ca și pentru calculul sinusului dublului, adică ne folosim de formula sumei.
De data aceasta, cum 3a=2a+a, vom scrie
sin(3a)=sin(2a+a).
Iar din formula sinusului sumei va rezulta
sin(3a)=sin(2a)cosa+sinacos(2a).
Bun. Acum pe sin(2a) îl știm deja, căci l-am calculat mai sus. Dar e bai cu cos(2a). Pe ăsta nu-l avem încă. Deci trebuie calculat.
Pentru a-l calcula pe cos(2a) vom proceda la fel ca pentru sinusul dublului, doar că vom folosi formula cosinusului sumei, adică
cos(a±b)=cosacosb∓sinacosb.
Cu această formulă obţinem
cos(2a)=cos(a+a)=cosacosa−sinasina.
Scriind în loc de cosacosa de fapt cos2a și în loc de sinasina chiar sin2a, obținem formula importantă a cosinusului dublului
cos(2a)=cos2a−sin2a.
Acum avem tot ce ne trebuie pentru a scrie formula sinusului triplului, căci îl avem inclusiv pe cos(2a). Deci, mai sus am aflat că
sin(3a)=sin(2a)cosa+sinacos(2a).
Înlocuind, obţinem
sin(3a)=2sinacosacosa+sina(cos2a−sin2a).
Desfăcând paranteza și punând cosacosa=cos2a, respectiv, sinasin2a=sin3a, avem
sin(3a)=2sinacos2a+sinacos2a−sin3a.
Cum 2sinacos2a+sinacos2a=3sinacos2a, obținem
sin(3a)=2sinacosacosa+sina(cos2a−sin2a).
Desfăcând paranteza și punând cosacosa=cos2a, respectiv, sinasin2a=sin3a, avem
sin(3a)=2sinacos2a+sinacos2a−sin3a.
Cum 2sinacos2a+sinacos2a=3sinacos2a, obținem
sin(3a)=2sinacos2a−sin3a,
adică, exact formula pe care am obținut-o în doi timpi și trei mișcări în articolul precedent, bazați pe formula lui Moivre. Doar că aici am depus o groază de muncă. Și am găsit abia sinusul...
Niciun comentariu:
Trimiteți un comentariu
Exprimați-vă părerea despre articol sau cereți lămuriri suplimentare, ca să transmitem cât mai multă informație celor care au nevoie de ea.
Comentariul va apărea după un anumit interval de timp necesar moderării.