Altă metodă pentru calculul sinusului triplului

În articolul precedent am dat exemplul prin care, cu ajutorul formulei lui Moivre, am calculat ușor cosinusul și sinusul triplului unui unghi.

Voi arăta în acest articol cum se mai poate calcula sinusul triplului folosind o altă metodă, aceea bazată pe formula de calcul al sinusului sumei a două unghiuri.

Noi cunoaștem deja această formulă. Mai exact, știm că avem
$$\sin(a\pm b)=\sin a\cos b\pm\cos a\sin b. $$
Având această formulă în față putem să ne apucăm să calculăm deocamdată sinusul dublului unghiului. 




Cum putem să calculăm dublul când cunoaștem suma? Simplu: în loc de $a+b$ vom pune $a+a$, adică $2a$, deci $\color{red}{2a=a+a}$. 

Trecem, deci, la treabă. Obținem

$$\sin(2a)=\sin (a+a)=\sin a\cos a+\cos a\sin a. $$

Și cum înmulțirea este comutativă, avem $\cos a\sin a=\sin a\cos a$.

Aşadar,
$$\sin(2a)=\sin a\cos a+\sin a\cos a. $$
Acum observați că în partea dreaptă a egalității avem doi termeni pur și simplu egali scriși de două ori pe care îi putem scrie o singură dată cu un 2 în față.

Deci,

$$\color {blue} {\sin(2a)=2\sin a\cos a} . $$ 

Avem astfel sinusul dublului. Acum putem calcula sinusul triplului, aplicând aceeași metodă ca și pentru calculul sinusului dublului, adică ne folosim de formula sumei. 

De data aceasta, cum $\color{red} {3a=2a+a}$, vom scrie 

$$\sin(3a)=\sin(2a+a).$$ 

Iar din formula sinusului sumei va rezulta 

$$\sin(3a)=\sin (2a) \cos a+\sin a\cos(2a). $$

Bun. Acum pe $\sin(2a)$ îl știm deja, căci l-am calculat mai sus. Dar e bai cu $\cos(2a)$. Pe ăsta nu-l avem încă. Deci trebuie calculat. 

Pentru a-l calcula pe $\cos(2a)$ vom proceda la fel ca pentru sinusul dublului, doar că vom folosi formula cosinusului sumei, adică  

$$\cos(a\pm b)=\cos a\cos b \mp\sin a\cos b. $$

Cu această formulă obţinem 

$$\cos(2a)=\cos(a+a)=\cos a\cos a-\sin a\sin a. $$

Scriind în loc de $\cos a \cos a$ de fapt $\cos^2a$ și în loc de $\sin a\sin a$ chiar $\sin^2a$, obținem formula importantă a cosinusului dublului 

$$\color {blue} {\cos (2a)=\cos^2a-\sin^2a} .$$

Acum avem tot ce ne trebuie pentru a scrie formula sinusului triplului, căci îl avem inclusiv pe $\cos(2a)$. Deci, mai sus am aflat că  

$$\sin(3a)=\sin (2a) \cos a+\sin a\cos(2a).$$

Înlocuind, obţinem
$$\sin (3a)=2 \sin a\cos a\cos a+\sin a(\cos ^2a-\sin ^2a) . $$
Desfăcând paranteza și punând $\cos a\cos a=\cos^2a$, respectiv, $\sin a\sin^2 a=\sin^3a $,   avem
$$\sin (3a)=2 \sin a\cos^2 a+\sin a\cos ^2a-\sin ^3a .$$

Cum $2 \sin a\cos^2 a+\sin a\cos ^2a=3\sin a\cos ^2a$, obținem

$$\color{magenta}{\sin(3a)=2\sin a\cos^2a-\sin^3a},$$

adică, exact formula pe care am obținut-o în doi timpi și trei mișcări în articolul precedent, bazați pe formula lui Moivre. Doar că aici am depus o groază de muncă. Și am găsit abia sinusul...