Faceți căutări pe acest blog

marți, 13 octombrie 2015

Formula lui Moivre rezultă din cea a lui Euler


Într-un articol precedent vă vorbeam de o bunătate de formulă pe care o moștenim de la scumpul Moivre. Spuneam acolo că formula lui Moivre, în toată splendoarea ei, este

$$\large\color{red}{\boxed{(\cos x+i\sin x)^n=\cos nx+i\sin nx}}.$$
Iar în alt articol vorbeam de „cea mai remarcabilă formulă matematică”, după spusele fizicianului Richard Feynman, care este formula lui Euler:
$$\large\color{red}{\boxed{e^{ix}=\cos x+i\sin x}}.$$


Ultima relație este mai generală decât prima, în sensul că din formula lui Euler rezultă formula lui Moivre.

Deși Moivre a descoperit formula sa când Euler abia se năștea, este util, ca regulă mnemotehnică, să deducem formula acestuia din cea a lui Euler.

Formula lui Euler poate fi scrisă și invers. Adică, putem scrie și 
$$\cos x+i\sin x=e^{ix}.$$

Atunci 
$$(\cos x+i\sin x)^n=\left(e^{ix}\right)^n.$$

Și cum din cele câteva proprietăți faine ale puterilor pe care le cunoaștem rezultă, de exemplu, că 
$$\left(2^3\right)^4=2^{3\cdot 4}=2^{4\cdot 3}$$
(căci înmulțirea este comutativă și îl putem comuta pe $3\cdot 4$ în $4\cdot 3$), la fel avem atunci și pentru $$\left(e^{ix}\right)^n=e^{i\cdot x\cdot n}=e^{i\cdot n\cdot x}=e^{i(nx)}.$$

Și cum $e^{ix}=\cos x+i\sin x$, orice am pune în locul lui $x$ (deci, chiar dacă punem $(nx)$), obținem atunci că

$$\color{red}{(\cos x+i\sin x)^n}=\left(e^{ix}\right)^n=e^{i(nx)}=\color{red}{\cos(nx)+i\sin(nx)}.$$Adică, exact ceea ce am dorit să obținem. Rețineți, deci, că Moivre nu a cunoscut partea din mijloc a acestei egalități multiple, ci doar capetele ei, alea cu roșu; Euler este cel care a găsit restul.

Niciun comentariu:

Trimiteți un comentariu

Exprimați-vă părerea despre articol sau cereți lămuriri suplimentare, ca să transmitem cât mai multă informație celor care au nevoie de ea.

Comentariul va apărea după un anumit interval de timp necesar moderării.