Formula lui Moivre rezultă din cea a lui Euler

Într-un articol precedent vă vorbeam de o bunătate de formulă pe care o moștenim de la scumpul Moivre. Spuneam acolo că formula lui Moivre, în toată splendoarea ei, este

$$\large\color{red}{\boxed{(\cos x+i\sin x)^n=\cos nx+i\sin nx}}.$$
Iar în alt articol vorbeam de „cea mai remarcabilă formulă matematică”, după spusele fizicianului Richard Feynman, care este formula lui Euler:
$$\large\color{red}{\boxed{e^{ix}=\cos x+i\sin x}}.$$


Ultima relație este mai generală decât prima, în sensul că din formula lui Euler rezultă formula lui Moivre.

Deși Moivre a descoperit formula sa când Euler abia se năștea, este util, ca regulă mnemotehnică, să deducem formula acestuia din cea a lui Euler.

Formula lui Euler poate fi scrisă și invers. Adică, putem scrie și 
$$\cos x+i\sin x=e^{ix}.$$

Atunci 
$$(\cos x+i\sin x)^n=\left(e^{ix}\right)^n.$$

Și cum din cele câteva proprietăți faine ale puterilor pe care le cunoaștem rezultă, de exemplu, că 
$$\left(2^3\right)^4=2^{3\cdot 4}=2^{4\cdot 3}$$
(căci înmulțirea este comutativă și îl putem comuta pe $3\cdot 4$ în $4\cdot 3$), la fel avem atunci și pentru $$\left(e^{ix}\right)^n=e^{i\cdot x\cdot n}=e^{i\cdot n\cdot x}=e^{i(nx)}.$$

Și cum $e^{ix}=\cos x+i\sin x$, orice am pune în locul lui $x$ (deci, chiar dacă punem $(nx)$), obținem atunci că

$$\color{red}{(\cos x+i\sin x)^n}=\left(e^{ix}\right)^n=e^{i(nx)}=\color{red}{\cos(nx)+i\sin(nx)}.$$ Adică, exact ceea ce am dorit să obținem. Rețineți, deci, că Moivre nu a cunoscut partea din mijloc a acestei egalități multiple, ci doar capetele ei, alea cu roșu; Euler este cel care a găsit restul.