Aplicația vreaumate.online a fost lansată

Bucurați-vă de ea! Veți descoperi cât de captivantă poate fi! V-o recomand cu mâna pe inimă!

Este în pregătire aplicația vreaumate

Este în pregătire o aplicație de matematică de toată frumusețea! 😁 Visez ca ea să contribuie enorm la învățarea matematicii cu ușurință și bucurie.

Despre noua structură a saitului vreaumate.online

Pentru cei care vor să înțeleagă mai bine ce facilități le oferă saitul meu, vreaumate.online, am pregătit un filmuleț de câteva minute care vorbește despre structura saitului și dă un exemplu de generare de teste.

Veți observa în filmuleț o groază de îmbunătățiri care au fost aduse saitului de către fiul meu cu ajutorul inteligenței artificiale. 

Cu această ocazie vă invit să-l contactați (în subsolul paginii găsiți detalii) dacă doriți să vă ajute cu aproape tot ceea ce poate face inteligența artificială în prezent.

Suma cuburilor este pătratul sumei lui Gauss (video)

Am avut de mult visul de a vorbi pe înțelesul celor mici despre proprietatea interesantă a sumei cuburilor.

Distanța de la un punct la o dreaptă este unică

Subliniez în filmulețul de pe youtube că distanța de la un punct la o dreaptă este lungimea unui segment UNIC care unește punctul cu un punct de pe dreaptă, astfel încât distanța să fie măsurată pe CEL MAI SCURT drum de la punct la dreaptă, drum care este tocmai PERPENDICULAR pe dreaptă. Reiese astfel o legătură profundă între distanță, perpendicular și unicitate.

Puțină nostalgie

De pe vremea când eram la catedră.

Logaritmul mediei geometrice este media aritmetică a logaritmilor

Da, da. Dacă folosim formula care ne spune că logaritmul produsului este suma logaritmilor, avem $$\log\sqrt{a\cdot b}=\log(a\cdot b)^\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\log(a\cdot b)=\frac{\log a+\log b}{2}.$$ Așadar, logaritmul mediei geometrice este media aritmetică a logaritmilor. Ce profund!

Raportul de monotonie

Există un raport prețios cu care putem afla dacă o funcție numerică este crescătoare sau este descrescătoare (bineînțeles, pe un anumit interval de numere reale). Iată acest raport: $$R=\frac{f(x)-f(y)}{x-y}.$$ Aici, $x$ și $y$ sunt numere distincte din domeniul de definiție al funcției.

Dacă acest raport este strict pozitiv pe un anumit interval, atunci funcția este strict crescătoare pe acel interval. Dacă raportul este negativ, funcția este descrescătoare, iar dacă raportul este nul, funcția este constantă.

De exemplu, funcția $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ dată de legea $f(x)=x^3-9$ are raportul de monotonie $$R=\frac{x^3-9-y^3+9}{x-y}=\frac{x^3-y^3}{x-y}=$$

$$=\frac{(x-y)(x^2+xy+y^2)}{x-y}=x^2+xy+y^2,$$ rezultat despre care se poate arăta ușor că este pozitiv pentru orice valori distincte $x$ și $y$ (discriminantul rezultatului este negativ) și este nul doar pentru ambele valori nule. Cum rezultatul este pozitiv peste tot, avem că funcția este crescătoare pe tot intervalul de definiție (sau strict crescătoare pe $\mathbb{R^*}$).

Acest raport este util elevilor din prima treaptă a liceului, urmând ca după ce vor învăța derivatele (într-a XI-a) să determine monotonia trecând la limită acest raport și transformându-l în derivată.

Media armonică este inversul mediei aritmetice a inverselor

Media armonică a două numere $a$ și $b$ este dată de relația $$m_h(a,b)=\frac{2ab}{a+b}.$$

Vom vedea că putem ajunge la această medie făcând media aritmetică a inverselor celor două numere. Astfel, media aritmetică a inverselor va fi $$m_a\left(\frac{1}{a},\frac{1}{b}\right)=\frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}{2}=\frac{\frac{a+b}{ab}}{2}=\frac{a+b}{2ab},$$ care este tocmai inversul mediei armonice a celor două numere. 

Prin urmare, avem ceea ce spune titlul: $$\frac{1}{m_h}=m_a\left(\frac{1}{a},\frac{1}{b}\right).$$

Așa că, dacă ați crezut cumva că cele două medii nu au multe în comun, aveți ocazia să vă amintiți de această legătură frumoasă.

Am pregătit un loc unde clienții mei pot beneficia de toată munca mea

Într-un director online puteți avea acces la toată munca mea cu elevii rămasă pe fișierele pdf. Sunt convins că vor exista doritori capabili să înțeleagă explicațiile mele scrise în fișierele pdf. Mult succes!

Teorema fundamentală a trigonometriei este o consecință frumoasă a teoremei lui Pitagora

Pornind de la definiția primelor două funcții trigonometrice, prezint teorema fundamentală a trigonometriei ca o consecință firească a teoremei lui Pitagora.

Cele zece teste recente pentru final de clasa a cincea și început de clasa a șasea

Iată câteva teste generate la începutul acestei luni:

Test-fulger, Septembrie 2024 by abelcavasi

Teorema lui Pitagora și factorul comun

Din experiența mea, peste 90% dintre elevi nu știu să folosească trucul de care vă voi vorbi în acest articol.

Este vorba despre modul rapid în care putem găsi a treia latură a unui triunghi dreptunghic atunci când le cunoaștem pe celelalte două. Desigur, se aplică teorema lui Pitagora, dar maniera de calcul este mult mai eficientă cu ajutorul factorului comun.

Așadar, să presupunem pentru început că ni se dă un triunghi dreptunghic a cărui ipotenuză are lungimea de 75 cm, iar una dintre catete are lungimea de 60 cm și se dorește determinarea celeilalte catete. 

În acest caz, un elev gospodar se va pune pe treabă utilizând teorema lui Pitagora și va scrie că 

$$c_1=\sqrt{ip^2-c_2^2}=\sqrt{75^2-60^2}=\sqrt{5625-3600}=\sqrt{2025}=45.$$

Desigur, toate au mers brici, în ipoteza că știm să ridicăm repede la pătrat numărul 75 și știm să extragem repede radical din 2025. 

Apropo! Știți să ridicați repede la pătrat un număr care se termină cu 5? E foarte fain: se înmulțește numărul din fața lui 5 cu succesorul său și se adaugă la final numărul 25, așa cum vedeți în exemplele din imaginea de mai jos.

Dar să revenim la teorema lui Pitagora. În cazul precedent (și în toate cazurile similare, cu factor comun) putem să observăm că cele două numere date în ipoteză, adică 75 și 60, au un divizor comun destul de mare, pe 15. Această observație ne va permite să facem calculele mult mai ușor. Pentru că dacă două dintre laturi au un divizor comun (desigur, ne referim la lungimile lor, prin abuz de limbaj), atunci cu certitudine și cea de-a treia latură va avea același divizor. Astfel, în cazul exemplului nostru, dacă 75 și 60 îl au ca divizor pe 15, atunci cu siguranță și 45 îl va avea ca divizor pe 15. 

Acest avantaj ne ajută să lucrăm cu numere mult mai mici. Căci, abstracție făcând de divizorul 15, triunghiul nostru se comportă acum ca și cum ar avea laturile mai mici de 15 ori. Adică, este suficient să găsim cu teorema lui Pitagora cateta necunoscută pentru un triunghi mai mic, cu laturile fără 15, după care să înmulțim înapoi cu 15.

Demonstrația acestui fapt pentru triunghiul inițial este simplă, căci putem scrie:

$$c_1=\sqrt{75^2-60^2}=\sqrt{(5\cdot\color{red}{15})^2-(4\cdot\color{red}{15})^2}=\sqrt{5^2-4^2}\cdot\color{red}{15}.$$

Cazul prezentat este mai simplu, căci se bazează pe celebrul și binecunoscutul triplet pitagoreic fundamental $\color{red}{3,4,5}$ cu derivatele sale obținute prin înmulțirea cu un factor natural. Dar utilitatea metodei descrise iese mai bine în evidență în cazuri mai complicate, cum este cazul triunghiului ale cărui catete sunt, de exemplu, 16 și 24. Cât va fi în acest caz ipotenuza?

Dacă nu aplicăm trucul, trecem prin următorul chin:

$$ip=\sqrt{16^2+24^2}=\sqrt{256+576}=\sqrt{832}.$$

Și, desigur, pentru a găsi cât este radicalul lui 832 vă veți mai chinui să-l descompuneți:

obținând, în sfârșit, ipotenuza ca fiind egală cu $8\sqrt{13}$.

Dar ce am fi câștigat dacă foloseam trucul cu factorul comun? Păi, în loc să lucrăm cu triunghiul mare, am fi descoperit că 16 și 24 îl au pe 8 ca factor comun:

și atunci lucram cu triunghiul mic

pentru a-l descoperi pe $\sqrt{13}$, adică procedam ca în imaginea:

Eu sper din toată inima ca acest truc să vă ajute să câștigați timp de-acum încolo atunci când doriți să găsiți mai rapid cea de-a treia latură a unui triunghi dreptunghic, dacă celelalte două au un divizor comun mare.

Metoda cireșelor

Acum, fiind în vacanță și înfulecând cu nesaț niște cireșe dulci și grase, am găsit ceva timp ca să vă vorbesc despre metoda de descompunere în factori a unui trinom cu coeficienți întregi, pe care în gimnaziu o numim „metoda cireșelor”, căci amintește de perechile de cireșe savuroase atârnate după urechi. 

Metoda se aplică cu mult succes la descompunerea trinomului cu coeficienți întregi pentru care coeficientul dominant (adică „a”-ul, deci coeficientul lui $x^2$) este egal cu unitatea, adică la trinoame de forma $x^2+bx+c$, unde $b$ și $c$ sunt numere întregi.

Fundamentul care stă la baza metodei cireșelor este dat de formulele lui Viète, care fac o legătură superbă între coeficienți și rădăcini.

Astfel, cu metoda cireșelor putem realiza, de exemplu, descompunerile următoare: 

(ambele numere pozitive)

$$x^2+\underset{\underset{{\color{red}{2}}+{\color{blue}{3}}}{\wedge}}{5}x+\underset{\underset{{\color{red}{2}}\cdot{\color{blue}{3}}}{\wedge}}{6}=(x+{\color{red}{2}})\cdot(x+{\color{blue}{3}}),$$

(ambele numere pozitive)

$$x^2+\underset{\underset{{\color{red}{1}}+{\color{blue}{5}}}{\wedge}}{6}x+\underset{\underset{{\color{red}{1}}\cdot{\color{blue}{5}}}{\wedge}}{5}=(x+{\color{red}{1}})\cdot(x+{\color{blue}{5}}),$$

(ambele numere negative, termenul liber rămâne pozitiv)

$$x^2\underset{\underset{({\color{red}{-2}})+({\color{blue}{-3}})}{\wedge}}{-5x}\underset{\underset{({\color{red}{-2}})\cdot({\color{blue}{-3}})}{\wedge}}{+6}=(x{\color{red}{-2}})\cdot(x{\color{blue}{-3}}),$$

(numere de semn contrar, termenul liber devine negativ)

$$x^2\underset{\underset{({\color{red}{-2}})+({\color{blue}{+3}})}{\wedge}}{+x}\underset{\underset{({\color{red}{-2}})\cdot({\color{blue}{+3}})}{\wedge}}{-6}=(x{\color{red}{-2}})\cdot(x{\color{blue}{+3}}),$$

(numere de semn contrar, termenul liber este, de asemenea, negativ)

$$x^2\underset{\underset{({\color{red}{-1}})+({\color{blue}{+5}})}{\wedge}}{+4x}\underset{\underset{({\color{red}{-1}})\cdot({\color{blue}{+5}})}{\wedge}}{-5}=(x{\color{red}{-1}})\cdot(x{\color{blue}{+5}}),$$

unde puteți observa că termenul liber se scrie ca un produs de două numere, iar coeficientul lui $x$ se scrie ca o sumă de aceleași două numere.

În fine, există desigur o metodă generală pentru a descompune orice trinom într-un produs de factori, dacă elevul știe deja să calculeze „cu delta” cele două rădăcini ale unui trinom. Prin această metodă, descompunerea trinomului general este dată de:

$$\color{red}{ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)},$$ unde $x_1$ și $x_2$ sunt cele două rădăcini ale trinomului.

Teorema lui Pitagora în patrulaterul ortodiagonal

Un patrulater ale cărui diagonale sunt perpendiculare se numește patrulater ortodiagonal.

Într-un patrulater ortodiagonal este valabilă o teoremă extinsă a lui Pitagora care ne spune că suma pătratelor laturilor opuse dintr-o pereche este egală cu suma pătratelor laturilor opuse din cealaltă pereche. 

Cu literele noastre, teorema lui Pitagora în patrulaterul ortodiagonal ABCD spune că:

$$AB^2+CD^2=AD^2+BC^2$$

Mai mult, dacă ne interesează aria acestui patrulater, putem observa că aceasta este dată suma ariilor celor patru triunghiuri dreptunghice care formează patrulaterul. Din acest motiv, aria patrulaterului ortodiagonal este semiprodusul lungimilor diagonalelor sale, adică

$$A_{ABCD}=\frac{AC\cdot BD}{2}.$$

Rombul și pătratul sunt, prin excelență, patrulatere ortodiagonale, deci și pentru ele sunt valabile relațiile de mai sus.

O prietenie dintre cerc și triunghiul dreptunghic, care durează de milioane de ani

Se spune că, demult, încă din negura vremurilor, cu mult înainte de apariția dinozaurilor, cercul și-a dat întâlnire cu triunghiul dreptunghic, în taină și nu s-au mai despărțit de atunci niciodată. Și nici nu se vor mai despărți vreodată, deoarece au jurat într-o prietenie veșnică. Iar ei se țin de cuvânt...

De-a lungul anilor, însă, odată cu apariția pe Pământ a omului pasionat de Matematică (homo mathematicus), taina celor două figuri geometrice a început să se risipească, în ciuda faptului că ele au rămas, totuși, prietene.

Și iată care este taina lor, ascunsă în imaginea de mai jos:

Ce trebuie să observați aici? Că unghiul CAB subîntinde semicercul roșu, adică are $90^o$, astfel că triunghiul ABC este dreptunghic în A, iar ipotenuza triunghiului dreptunghic este tocmai diametrul cercului circumscris triunghiului. 

Mai observați de aici că segmentele OA, OB și OC sunt tocmai raze ale cercului circumscris, deci sunt egale între ele, proprietate ce poartă numele de teorema medianei (mediana principală AO este jumătate din ipotenuză).

Multe probleme din geometria plană își găsesc rezolvarea în această legătură minunată de care uită majoritatea elevilor de gimnaziu. Așa că, intervenția mea are menirea de a sublinia încă o dată prietenia dintre triunghiul dreptunghic și cerc.

Suma cuburilor este pătratul sumei lui Gauss

Știți că suma lui Gauss ne spune, de exemplu, că $$1+2+3+...+7=\frac{7\cdot 8}{2}.$$

Așadar, suma primelor n numere naturale este semiprodusul dintre ultimul număr și succesorul său, fapt care se poate exprima prin formula $$1+2+3+\dots n={\color{blue}{\frac{n\cdot(n+1)}{2}}}.$$

Apoi, suma pătratelor se poate exprima printr-o formulă asemănătoare, la care se mai înmulțește o fracție simplă:

$$1^2+2^2+3^2+\dots n^2={\color{blue}{\frac{n\cdot(n+1)}{2}}}\cdot\frac{2n+1}{3}.$$

Dar cea mai interesantă dintre toate este suma cuburilor, care se scrie drept:

$$1^3+2^3+3^3+\dots n^3=(1+2+3+\dots n)^2=\left[{\color{blue}{\frac{n\cdot(n+1)}{2}}}\right]^2!$$

Vă dați seama ce interesantă este această relație? Adică ea ne spune, de exemplu, că: 

$$1^3+2^3+3^3+4^3=(1+2+3+4)^2!$$

Minunată-i Matematica asta!

Cercul și poligoanele regulate

Ca și oricare dintre triunghiuri, cel echilateral are două cercuri prietene, unul circumscris, care trece prin toate vârfurile sale și unul înscris care atinge toate laturile sale. Doar că, pentru triunghiul echilateral, datorită simetriei perfecte a acestuia, centrele celor două cercuri coincid cu centrul de greutate și cu ortocentrul triunghiului. Această coincidență plăcută simplifică legătura dintre lungimea laturii triunghiului echilateral și razele celor două cercuri.

În geogebra am realizat o fișă în care puteți găsi formulele aferente legăturii dintre poligoanele regulate aprofundate în gimnaziu, adică triunghiul echilateral, pătratul și hexagonul regulat.

Vedeți mai jos imaginile corespunzătoare acestor poligoane:

Vă doresc să puteți asimila cât mai multe dintre aceste minunate formule, între care există o legătură profundă.

Inegalitatea mediilor: media aritmetică este mai mare decât media geometrică

Folosindu-ne de cea mai importantă inegalitate din gimnaziu, despre care am discutat în articolul precedent, putem obține o nouă inegalitate importantă, valabilă pentru medii.

Mai exact, dacă pornim de la două numere reale pozitive $0\leq a\leq b$, putem calcula media lor aritmetică dată de $$M_a(a,b)=\frac{a+b}{2}$$ și media lor geometrică $$M_g=\sqrt{a\cdot b}.$$

De exemplu, dacă numerele sunt $a=4$ și $b=9$, atunci media lor aritmetică este $$M_a=\frac{4+9}{2}=\frac{13}{2}=6,5$$ și $$M_g=\sqrt{4\cdot 9}=\sqrt{36}=6.$$

Observați deja că $6,5>6$ și astfel media aritmetică a celor două numere alese este mai mare decât media lor geometrică. 

Această inegalitate este una generală, în sensul că media aritmetică a două (sau mai multor) numere reale pozitive este întotdeauna mai mare sau cel puțin egală cu media lor geometrică. Deci, întotdeauna avem $$\color{red}{\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{a\cdot b}}.$$

Căci, pornind de la cea mai importantă inegalitate din gimnaziu, care ne spune că orice număr real ridicat la puterea a doua este mai mare decât zero sau cel puțin egal cu zero, rezultă că acest lucru este valabil și pentru diferența a două numere reale pozitive, oricare ar fi ele $(x-y)^2$, adică avem $$(x-y)^2\geq 0.$$ 

Mai departe, ridicând la puterea a doua paranteza prin înmulțirea parantezei cu ea însăși sau prin utilizarea formulei de calcul prescurtat, vom avea că $$(x-y)^2=(x-y)\cdot(x-y)=x^2-xy-yx+y^2=x^2-2xy+y^2.$$ Și cum $(x-y)^2\geq 0$, rezultă că $$x^2-2xy+y^2\geq 0,$$ ceea ce mai înseamnă și $$x^2+y^2\geq 2xy$$ (am aruncat în dreapta termenul $2xy$) și mai înseamnă și $$\frac{x^2+y^2}{2}\geq xy$$ (am împărțit inegalitatea precedentă cu 2).

Acum, notând $x^2=a$ și $y^2=b$, cum $a$ și $b$ sunt pozitive, va rezulta că $x=\sqrt{a}$, $y=\sqrt{b}$ și $xy=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}$, ceea ce ne duce direct la inegalitatea mediilor.

Și există o medie (media pătratică) care este chiar mai mare decât media aritmetică. Pentru numerele concrete alese mai sus avem $$M_p=\sqrt{\frac{4^2+9^2}{2}}=\sqrt{48,5}\approx 6,96.$$

Și există o medie (media armonică) care este mai mică decât media geometrică. Media armonică a lui 4 și 9 este $$M_h=\frac{2}{\frac{1}{4}+\frac{1}{9}}=\frac{2}{0,25+0,(1)}\approx 5,53.$$

Astfel, putem sintetiza inegalitatea mediilor mai frumos: $$\color{red}{b\geq\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}\geq\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}\geq\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\geq a}.$$

Din această inegalitate celebră mai rezultă că dacă oricare două dintre aceste medii sunt egale, va rezulta că și numerele ale căror medii se calculează sunt egale, concluzie foarte subtilă ce este valorificată în unele probleme mai dificile.

Cea mai importantă inegalitate din gimnaziu!

Elevii de clasa a șasea învață să lucreze cu numere negative, mai mici decât zero. Ca exemplu, primesc temperatura mediului înconjurător sau etajele de la subsolul unor clădiri înalte. 

Li se spune că iarna, atunci când este mai frig decât frigul la care îngheață apele curate, temperatura este negativă, mercurul termometrului fiind foarte înghesuit, ocupând volum mai mic, în timp ce vara temperatura este, de regulă, pozitivă, iar mercurul termometrului este extins mai mult, dilatat mai mult. 

De exemplu, atunci când temperatura este de $-3^o$, este mai frig (nivelul mercurului este mai coborât) decât atunci când temperatura este de $+5^o$, iar diferența de temperatură în acest caz este de $8^o$, adică mercurul urcă 8 etaje ca să ajungă de la etajul $-3$ la etajul 5.

Apoi, după ce au învățat numerele negative, învață să lucreze cu puterile acestora și află că dacă exponentul la care se ridică un număr negativ este par, atunci rezultatul ridicării este un număr pozitiv. De exemplu, $(-3)^2=(-3)\cdot(-3)=+9$.

Din acest moment li se poate povesti despre cea mai importantă inegalitate din gimnaziu și anume despre faptul că $$\color{red}{orice^2\geq 0}.$$

Așadar, orice număr învățat în gimnaziu, ridicat la puterea a doua va da un rezultat pozitiv, indiferent de număr. 

În liceu se învață și alt tip de numere (așa-numitele numere complexe), care ridicate la pătrat ne pot da și un rezultat negativ.

Această inegalitate de care v-am vorbit este cea mai importantă, deoarece din ea rezultă o mulțime de alte inegalități. De exemplu, inegalitatea mediilor se demonstrează ușor cu această inegalitate importantă, ceea ce denotă că inegalitatea mediilor este o consecință frumoasă a celei mai importante inegalități din gimnaziu. 

Așadar, dragii mei, rogu-vă să vă amintiți des despre această minunăție învățată în gimnaziu, căci ea vă va scoate din belele în majoritatea cazurilor când vi se va cere să demonstrați o inegalitate.