Mate-info 2016, subiectul II, problema 2b

Se consideră polinomul $f=X^3 - 5X+a$,  unde $a$ este un număr real. 

Determinați numărul real $a$ pentru care $x_1^3 +x_2^3+x_3^3=2016-4a$, unde $x_1$, $x_2$ și $x_3$ sunt rădăcinile polinomului $f$.

Ce sunt rădăcinile unui polinom? Sunt acele numere care anulează funcția polinomială asociată polinomului dat. Așadar, dacă înlocuim pe $x$ cu o rădăcină (să zicem, cu $x_1$), obţinem rezultatul zero. Adică, $$f(x_1) =0.$$



Bineînțeles, și $f(x_2)=0$. Și, bineînțeles, și $f(x_3)=0$. Un polinom de gradul trei are trei rădăcini. Un polinom de gradul șapte are șapte rădăcini.

Deoarece $f(x_1)=0$, înseamnă că putem scrie de fapt că $$x_1 ^3 - 5x_1+a=0.$$ Și același lucru poate fi scris și pentru celelalte două rădăcini rămase. Adică, avem   $$x_2 ^3 - 5x_2+a=0$$ și  $$x_3^3 - 5x_3+a=0.$$

Acum vă recomand să punem cele trei egalități una sub alta și să ne gândim la ceea ce se cere în problemă:  $$x_1 ^3 - 5x_1+a=0,$$   $$x_2^3 - 5x_2+a=0,$$ și $$x_3^3 - 5x_3+a=0.$$

Observați că enunțul ne cere să concretizăm suma cuburilor celor trei rădăcini, adică ne cere să concretizăm expresia $$x_1^3 +x_2^3 +x_3^3.$$ Cum am putea obține suma cuburilor din setul de trei egalități pe care le mai scriu o dată $$x_1 ^3 - 5x_1+a=0,$$   $$x_2^3 - 5x_2+a=0,$$ și $$x_3^3 - 5x_3+a=0?$$

Unii dintre voi au găsit deja răspunsul: adunând cele trei egalități. Adică, adunând "pe verticală" termen cu termen. Făcând amănunțit această adunare, obținem $$x_1 ^3 +x_2 ^3 +x_3 ^3 - 5 x_1 - 5x_2-5x_3+a+a+a=0+0+0.$$

Și cum nouă ne trebuie suma cuburilor, lăsăm aceste cuburi în partea stângă a egalității și aruncăm în dreapta egalității restul termenilor. Mai obținem atunci $$x_1 ^3 +x_2 ^3 +x_3 ^3=5(x_1+x_2+x_3)-3a.$$ L-am dat factor comun pe $5$ și i-am adunat pe cei trei $a$.

Iată ce fain ne-am apropiat de suma cuburilor! Mai trebuie să scăpăm cumva de suma rădăcinilor, adică de $x_1+x_2+x_3$. Aici ne ajută relațiile lui Viète.

Acestea ne spun că $$x_1 +x_2 +x_3 =-\frac{b} {a},$$ unde $a$ și $b$ se obțin din scrierea polinomului dat sub forma $ax^3 +bx^2 +cx+d$. Așadar, $a$ este coeficientul lui $x^3$ și este egal cu $1$ în cazul nostru, iar $b$ este coeficientul lui $x^2$ și este egal cu $0$,deoarece în polinomul nostru nu există $x^2$.

Atunci, $$x_1+x_2+x_3=-\frac{0} {1}=0.$$ Cu acest rezultat putem să evaluăm acum mai bine suma cuburilor. Căci, mai sus, am obținut $$x_1 ^3 +x_2 ^3 +x_3 ^3=5(x_1+x_2+x_3)-3a.$$ Și cum $x_1+x_2+x_3=0$, rezultă acum că $$x_1 ^3 +x_2 ^3 +x_3 ^3=5\cdot 0-3a=-3a.$$

De-aici încolo problema devine banală. Dacă recitim enunțul inițial (uneori, în timpul calculelor laborioase, mai uităm ce se cere, așa că avem nevoie să recitim enunțul initial), ne reamintim că trebuie să-l găsim pe $a$ când ni se dă egalitatea ciudată  $$x_1^3 +x_2^3+x_3^3=2016-4a.$$  

Acum, în schimb, din moment ce știm că $$x_1 ^3 +x_2 ^3 +x_3 ^3=-3a,$$ ne rămâne să facem înlocuirea necesară. Așadar, în loc de $$x_1^3 +x_2^3+x_3^3=2016-4a,$$ noi vom scrie acum $$-3a=2016-4a.$$  

Ori asta este o ecuație banală de gradul întâi în necunoscuta $a$. Iar elevul care a ajuns până aici, în mod sigur știe să o rezolve. El va arunca în partea stângă a egalității termenii cu $a$ și în dreapta egalității termenii fără $a$. Bineînțeles, respectând regula de schimbare a semnelor corespunzătoare. 

Așadar, ecuația devine $$4a-3a=2016,$$ adică $$\color {red} {a=2016}.$$