Faceți căutări pe acest blog

sâmbătă, 30 iulie 2016

Mate-info 2016, subiectul II, problema 2c


Se consideră polinomul $f=X^3 - 5X+a$,  unde $a$ este un număr real. 

Demonstrați că polinomul $f$ are cel mult o rădăcină în mulțimea numerelor întregi.


Ei? Asta da, asta deja este o problemă ce dă oarece bătăi de cap. Cum dumnezeu să demonstrăm că polinomul dat are cel mult o rădăcină întreagă, că în liceu nu se învață nimic asemănător, nicio regulă care să ne ducă pe o cale regală către o asemenea demonstrație? Atunci ce trebuie să facă elevul?


Deja aici elevul trebuie să creeze. Aici i se pun în valoare capacitățile creative. Un pas important în demonstrație va fi să încerce să vadă care ar fi consecințele contrariului. Deci, va trebui să construiască un raționament corect prin care să pornească de la presupunerea contrarie (adică, de la presupunerea că polinomul are mai multe rădăcini întregi) și să ajungă la o concluzie care să fie evident falsă.

Căci, dacă pornim de la o propoziție despre care nu știm dacă e adevărată sau falsă și facem un raționament corect și ajungem la o propoziție falsă, atunci avem dreptul să spunem că propoziția de la care am început raționamentul este falsă și ea. Această metodă de a demonstra ceva se numește demonstrație prin reducere la absurd.

Așadar, haideți să demonstrăm prin reducere la absurd că polinomul dat are cel mult o rădăcină întreagă. Să presupunem, deci, că polinomul are, să zicem, două rădăcini întregi și să vedem dacă ajungem, așa cum trebuie, la o concluzie falsă. Așa ar trebui, să ajungem la o absurditate.

Deci, polinomul are două rădăcini întregi, zicem noi. Cum nu contează ordinea lor, putem spune că rădăcinile $x_1$ și $x_2$ întregi. Ce putem face cu informația asta? Mai nimic, deocamdată. Dar încercăm să mai aducem plus de informație. Fiind vorba de polinoame, putem folosi relațiile lui Viète, cu speranța că ne vor spune ceva interesant. 

Și chiar ne spun ceva interesant: ne spun că și a treia rădăcină trebuie să fie întreagă dacă primele două sunt deja întregi. Cum așa? 


Păi, vă amintiți că la punctul precedent am aflat că $x_1 +x_2 +x_3 =0$. Chiar dacă voi nu vă amintiți asta acum, puteți fi siguri că elevul implicat în examen, obsedat de rezolvarea problemei, își amintește. 


Așadar, dacă două rădăcini sunt întregi și la ele mai adunăm ceva ca să ne dea zero, atunci și ceva-ul acela trebuie să fie tot număr întreg, deoarece, din egalitatea de mai sus, rezultă că $$x_3=-x_1-x_2.$$ 


Iar dacă $x_1 $ este număr întreg (deci, număr fără virgulă), atunci și $-x_1$ este număr întreg. De asemenea, dacă două numere sunt întregi, atunci și suma lor este tot un număr întreg.  


Putem să tragem atunci liniștiți concluzia că toate cele trei rădăcini ale polinomului ar trebui să fie întregi. 


Bun. Mergem atunci mai departe, căci încă nu am ajuns la nicio absurditate evidentă. Trebuie să vedem dacă nu cumva este totuși absurd ca toate cele trei rădăcini să fie întregi. 


Încercăm să vedem dacă nu cumva relațiile lui Viète ne mai dau vreo informație în plus despre asemenea rădăcini. Haideți să explorăm și cea de-a doua relație a lui Viète. A doua relație a lui Viète ne-ar spune că $$x_1 x_2+x_1 x_3+x_2 x_3=\frac {c} {a}=\frac {-5} {1}=-5.  $$

Și voi știți că această relație, împreună cu prima relație a lui Viète, se folosește pentru a găsi suma pătratelor rădăcinilor.  Mai exact, poate vă amintiți că avem relația importantă $$x_1 ^2 +x_2 ^2 +x_3 ^2 =(x_1 +x_2 +x_3)^2 - 2(x_1 x_2+x_1 x_3+x_2 x_3). $$

Această relație importantă se mai scrie prescurtat $$\color {blue} {S_2=s_1^2-2s_2} ,$$ unde $s$-urile mici sunt relațiile lui Viète, iar $S$-urile mari sunt sumele puterilor rădăcinilor.

Prin urmare, $$x_1^2 +x_2^2 +x_3^2 =0^2 - 2(-5)=0+10=10.$$ Hopa! Trei numere întregi la pătrat adunate trebuie să ne dea $10$. Mai precis, trei pătrate perfecte adunate trebuie să ne dea $10$. Uau! Asta da informație! Informația asta ne spune tot ceea ce ne interesează despre rădăcini, ne spune cât pot fi ele. 

Pentru ca o sumă de trei pătrate perfecte să ne dea exact $10$ trebuie ca cele trei pătrate să fie obligatoriu $0$, $1$ și, respectiv, $9$. Nu există nici o altă posibilitate. Nu putem să vorbim aici de $16$ sau de $25$ pentru că acestea sunt pătrate perfecte mai mari decât $10$. Nu putem folosi decât pătrate perfecte mai mici decât $10$.

Prin urmare, am arătat că rădăcinile întregi ale polinomului nu pot fi decât $0$, $\pm 1$ și $\pm 3$. Dar, din prima relație a lui Viète, voi știți deja că toate cele trei rădăcini adunate trebuie să ne dea zero, căci am întâlnit deja relația $$x_1 +x_2 +x_3 =0.$$

Dar asta este absurd! Orice combinație de rădăcini am alege din cele posibile (deci, din $0$, $\pm 1$ și $\pm 3$), nu putem obține nicicum zero prin adunare. În sfârșit! În sfârşit, am ajuns la o absurditate, așa cum ne-am dorit încă de la început. Iar această absurditate este cireașa de pe tort, este finalul demonstrației faptului că polinomul dat nu poate avea mai mult decât o rădăcină întreagă, orice număr am pune în locul acelei litere $a$.