Progresii aritmetice

Progresia aritmetică este un $\textit{șir}$ de numere. Dar nu orice șir de numere, ci unul foarte special. Și anume, un șir de numere care „merg din câtva în câtva”, prin adunare. (Cele care merg prin înmulțire se numesc „progresii $\textit{geometrice}$”.)

De exemplu, șirul de numere $3,5,7,9,\dots$ este o progresie aritmetică de numere care merg din doi în doi. Acest „doi” se numește $\textit{rația}$ progresiei aritmetice. Dacă știm rația unei progresii aritmetice, atunci știm aproape totul despre ea.

Am spus „aproape totul” pentru că există de exemplu și alte progresii aritmetice care merg din doi în doi, dar care sunt, totuși, diferite de această progresie dată ca exemplu mai sus. Un asemenea exemplu diferit de progresie aritmetică din doi în doi este $2,4,6,8,\dots$. Vedeți că și această progresie aritmetică merge din doi în doi, doar că ea $\textit{nu începe}$ la fel ca progresia precedentă.




Așadar, două progresii aritmetice pot diferi între ele nu doar prin rația lor, ci și prin $\textit{primul termen}$. Dar atât și numai atât! Adică, dacă știm primul termen al unei progresii aritmetice și știm rația ei, atunci știm $\textit{totul}$ despre acea progresie și nu ne mai trebuie nimic altceva în plus.

Dar ce înseamnă a ști totul despre o progresie? Înseamnă a-i putea determina orice termen. Mai exact, dacă eu știu primul termen al unei progresii aritmetice și știu și rația ei, atunci pot găsi și al optulea termen sau al 100-lea. Cum așa? Păi, bine! Din moment ce știu primul termen și din cât în cât merge progresia, este firesc să pot anticipa cât va fi al doilea termen, apoi al treilea, al patrulea și așa mai departe.


Haideți să vedem mai concret cum facem asta. Deci, știm primul termen și rația. Cât va fi $\textit{al doilea}$ termen? Va fi, desigur, primul termen $\textit{plus o}$ rație. Apoi, $\textit{al treilea}$ termen va fi primul termen, dar $\textit{plus două}$ rații. Iar $\textit{al patrulea}$ termen va fi primul termen $\textit{plus trei}$ rații.

Observați legătura? Celui de-al $\textit{doilea}$ termen îi corespunde $\textit{o}$ rație. Celui de-al $\textit{treilea}$ termen îi corespund $\textit{două}$ rații. Iar celui de-al $\textit{patrulea}$ îi corespund $\textit{trei}$ rații. Deci cu o rație mai puțin decât indicele termenului.

Haideți să vedem cum scriem simbolic acestea, ca să nu folosim atâtea cuvinte. Avem relațiile $$a_2=a_1+r,$$ $$a_3=a_1+2\cdot r$$ și $$a_4=a_1+3\cdot r.$$
Adică, lângă rație punem un număr $\textit{cu o unitate mai mic}$ decât numărul ce reprezintă indicele termenului căutat.

Atunci, nimic nu ne poate împiedica să scriem și $$a_8=a_1+7r.$$ Sau $$a_{100}=a_1+99r.$$ Sau orice alt indice alegeți voi. Orice alt indice...

Haideți să scriem și chestia asta pentru $\textit{orice}$ indice. Ce rost are să ne chinuim să tot punem exemple de numere precum $2$ sau $3$ sau $4$ sau $8$ sau $100$ în locul indicelui, când putem folosi mai bine o literă? Cu o singură literă, să-i zicem $n$, am putea exprima condensat toate exemplele pe care le-am dat adineauri. Și atunci va ieși o formulă de toată frumusețea, pe care vă rog eu s-o rețineți:
$$\large{\color{red}{a_n=a_1+(n-1)\cdot r}}.$$
Da, știu, a apărut acolo o paranteză urâtă dată de $(n-1)$ care ar putea să vă supere. Ei bine, să n-o lăsați să vă supere. Gândiți-vă întotdeauna că în locul parantezei se află tot un număr, doar că el este cu o unitate mai mic decât numărul $n$ care se află la indicele termenului din stânga.

Ei bine, ce credeți că ar trebui să facem mai departe? Așaaa, ați ghicit! $\textit{Exemple}$ cu această formulă! Haideți să vedem câteva exemple în care avem nevoie de această formulă.

Să luăm din nou progresia dată ca exemplu mai sus formată cu numerele impare ce încep de la $1$, adică $1,3,5,\dots$. Cât este al $15$-lea termen al acestei progresii? Dar al $100$-lea?

Este simplu să înlocuim în formulă ceea ce știm despre această progresie. Noi știm că ea începe cu $a_1=1$ și are ca rație $r=2$. Atunci, $a_{15}=a_1+14\cdot r=1+14\cdot 2=29$. Deci, al cincisprezecelea termen al progresiei este $29$.
Dar al $100$-lea? Va fi mare lucru? Nici vorbă! Vom avea $a_{100}=1+99\cdot 2=199$. Buuunn...

Dar, acuma-i acuma! Această formulă faină poate fi folosită nu doar pentru a găsi banalii termeni ai unei progresii aritmetice! Ea poate mult mai mult: ea poate să ne dea $\textit{chiar și rația}$ progresiei, atunci când cunoaștem deja măcar doi dintre termenii acesteia.

Să se găsească rația progresiei aritmetice pentru care al doilea termen este $8$, iar al cincilea termen este $14$.

Hmmm... Rea problemă... Sau, cel puțin, așa pare la început. Totuși, ce fain ar fi fost dacă banditul care a creat problema s-ar fi gândit la faptul că elevul știe doar o formulă care începe cu $a_1$, nu cu $a_2$, adică $a_n=a_1+(n-1)\cdot r$. Cum pot fi așa răi unii oameni? Nu-i așa?  :)

Ei bine, nu. „Banditul” acela nu e un om rău, ci un om bun care a creat problema așa tocmai pentru ca voi să învățați ceva în plus, adică să învățați să găsiți rația nu doar atunci când vi se dă mură-n gură primul termen al progresiei, ci și atunci când vi se dau doi termeni oarecare ai acesteia.

Păi, ian să vedem. Ce o fi așa greu? Putem să-l scriem liniștit pe $a_2$ în funcție de $a_1$, așa că nu avem motive să ne supărăm sau să ne îngrijorăm. Mai exact, din formula $a_n=a_1+(n-1)\cdot r$, obținem că
$$a_2=a_1+(2-1)\cdot r=a_1+r,$$
adică obținem
$$a_2=a_1+r,$$
așa cum e și firesc (din moment ce pentru a ajunge de la un termen la următorul trebuie să adunăm o rație).

Adică, ia stați puțin! Deci, îl pot scrie pe $a_2$ în funcție de $a_1$. Dar oare invers nu pot? Adică îl pot scrie pe $a_2$ în funcție de $a_1$ și n-aș putea să-l scriu pe $a_1$ în funcție de $a_2$? Ei, cum să nu? Este suficient să-l trec pe $a_1$ într-o parte (cu semn schimbat, desigur) și pe $a_2$ în cealaltă parte.

Obținem atunci
$$-a_1=-a_2+r.$$
Și cum nouă ne trebuie $a_1$, nu $-a_1$, vom schimba toate semnele din relație, obținând ceva frumos:
$$a_1=a_2-r.$$
Și asta e firesc. Pentru că dacă vreau să ajung înapoi la $a_1$ de la $a_2$, este firesc $\textit{să scad}$ o rație, din moment ce pentru a ajunge de la $a_1$ la $a_2$ am adunat o rație. Doamne, cât de firească e matematica! Doamne, cât de vinovați sunt profesorii care nu pot s-o descrie pe înțelesul scumpilor elevi!

Bun. Acum, dacă putem să ne scăpăm de $a_1$ prin folosirea lui $a_2$, vom trece la treabă pentru a vedea la ce ne ajută noua informație.

Pentru aceasta aș vrea să vă reamintesc ce formule avem. Avem întâi
$$a_n=a_1+(n-1)\cdot r$$
și am mai obținut că
$$a_1=a_2-r.$$
Acum vom comasa aceste două formule ca să dispară termenul $a_1$ de care nu avem nevoie în problema noastră. Adică, scriem prima formulă, dar nu o copiem exact, ci îl înlocuim pe $a_1$ cu $a_2-r$.

Deci,
$$a_n=a_1+(n-1)\cdot r=(a_2-r)+(n-1)\cdot r.$$
Off, am pus acolo o paranteză inutilă în locul lui $a_1$. N-are rost s-o scriem. Mai bine scriem
$$a_n=a_2-r+(n-1)\cdot r.$$
Iată o formulă care ni-l poate da pe $a_n$ (adică pe oricare termen) în funcție de $a_2$, nu de $a_1$!

Mda... Totuși, e cam urâtă formula asta. Cam toate formulele în care se repetă fără rost ceva sunt urâte. În formula noastră se repetă fără rost $r$. Fără rost, pentru că am putea face din doi de $r$ unul singur cumva. Haideți să lucrăm la asta. Cine știe ce vom obține...

Desfacem întâi paranteza aia cu $n-1$, înmulțind frumos cu $r$ termenii din paranteză. Așadar, obținem
$$a_n=a_2-r+n\cdot r-1\cdot r=a_2-r+n\cdot r-r.$$
Avem acolo de două ori $-r$. Asta înseamnă că putem scrie în locul lor $-2r$. Obținem atunci
$$a_n=a_2+n\cdot r-2\cdot r.$$
Ne apropiem de o formă frumoasă. Doar că mai trebuie să dăm factor comun pe $r$, că se repetă. Deci,
$$a_n=a_2+(n-2)r.$$
Iată-l deci, pe $a_n$ în funcție de $a_2$. Adio $a_1$! Ne putem descurca și fără tine. Yupppiiiii!

Hopa! Dar, ia stați un pic! Ia să punem una sub alta cele două formule, prima cu $a_1$ și a doua cu $a_2$:
$$a_n=a_{\color{green}{1}}+(n-{\color{green}{1}})r$$
și
$$a_n=a_{\color{green}{2}}+(n-{\color{green}{2}})r.$$
Observați minunea? Dacă schimbăm indicele lui $a$, atunci același număr îl punem și în paranteză. Aoleu, ce fain! Înseamnă că putem scrie o formulă valabilă pentru orice indice, chiar dacă acel indice ar fi $k$. Mai exact, avem
$$\large{\color{red}{\boxed{a_n=a_k+(n-k)\cdot r}}}.$$
Dumnezeule, ce formulă! Adică, îl pot scrie pe $a_n$ în funcție de $\textit{orice alt termen}$! Ce bineeee!

Dar nu ne oprim aici! Mai prelucrăm puțin chiar și această formulă. Pentru că vreau să avem o formulă care începe cu $r$, nu cu $a_n$, din moment ce în problema noastră se cere rația, nu altceva.
Atunci, în formula noastră, pentru a-l găsi pe $r$, întâi vom comuta între ei termenii egalității. Adică, obținem
$$a_k+(n-k)\cdot r=a_n.$$
Apoi, îl ducem pe $a_k$ dincolo, lângă $a_n$, cu semn schimbat, desigur:
$$(n-k)\cdot r=a_n-a_k.$$
Și ultimul pas este să împărțim cu $(n-k)$ din fața lui $r$. Obținem în final o altă formulă superbă
$$\large{\color{red}{\boxed{r=\frac{a_n-a_k}{n-k}}}}.$$
Adică, avem acum o formulă care ne spune direct cât este rația unei progresii aritmetice atunci când ni se dau doi termeni oarecare ai acelei progresii.

Această formulă este tot ceea ce ne trebuie pentru a putea rezolva problema noastră. Vă reamintesc problema, că poate ați uitat ce se cere:

„Să se găsească rația progresiei aritmetice pentru care al doilea termen este $8$, iar al cincilea termen este $14$.”

Cu formula precedentă, suntem boieri. Putem rezolva problema din doi timpi și trei mișcări. Doar înlocuim pe $a_2$ cu $8$ și pe $a_5$ cu 14. Adică
$$r=\frac{a_n-a_k}{n-k}=\frac{a_2-a_5}{2-5}=\frac{8-14}{-3}=\frac{-6}{-3}=\color{red}{2}.$$
Sper că ați făcut loc în mintea voastră pentru formula minunată
$$\large{\color{red}{\boxed{r=\frac{a_n-a_k}{n-k}}}}$$
sau pentru cealaltă echivalentă (dintr-una rezultă cealaltă, după mici calcule, după cum ați văzut)
$$\large{\color{red}{\boxed{a_n=a_k+(n-k)\cdot r}}}.$$
Dacă știți aceste formule, atunci veți ști să rezolvați o groază de probleme cu progresii aritmetice. Desigur, nu pe toate încă. Tocmai de aceea mai urmează să povestim despre $\textit{trei termeni consecutivi}$ ai unei asemenea progresii aritmetice, precum și despre $\textit{suma termenilor}$ unei progresii aritmetice.


Așadar, să povestim acum și despre proprietățile pe care le au $\textbf{trei termeni consecutivi}$ ai unei progresii aritmetice. Să revedem o progresie aritmetică precum $$2, 5, 8, 11, 14 \dots$$
Vrem să găsim ceva interesant la trei termeni consecutivi. Ia vedeți. Luați termenii consecutivi $5, 8 \text{ și } 11$ și vedeți dacă observați ceva relație între ei, relație care să fie independentă de rația progresiei, ori de primul ei termen, cu alte cuvinte, relația fiind $\textit{aceeași pentru orice}$ trei termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice oarecare.

Păi, ia adunați $5$ cu $11$. Obțineți $16$. Apoi gândiți-vă la $8$. Exact! Termenul din mijloc (adică $8$) este media aritmetică a termenilor vecini (adică $\frac{5+11}{2}$). Iar acest lucru este valabil și pentru alți termeni consecutivi, de exemplu, pentru $8,11 \text{ și } 14$. Așadar, putem scrie o altă formulă frumoasă (dar cu niște semne destul de ciudate în ea, căci n-am știut cum s-o scriu altfel, din moment ce am vrut să fie și generală și riguroasă), cea pentru trei termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice:
$$\large{\color{red}{\boxed{a_k=\frac{a_{k-1}+a_{k+1}}{2}}}}.$$
Haideți să vedem o problemă faină cu această proprietate a celor trei termeni consecutivi dintr-o progresie aritmetică.


 Aflați necunoscuta $x$, știind că $2x+1,19-5x\text{ și }8x-3$ sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.

Formula de mai sus ne spune că termenul din mijloc trebuie să fie media aritmetică a celorlalți doi termeni. Deci, trebuie să avem
$$19-5x=\frac{(2x+1)+(8x-3)}{2}.$$
Am pus parantezele deși nu erau necesare, doar pentru a delimita mai bine cei doi termeni. Apoi, adunăm termenii de la numărătorul fracției noastre și obținem
$$19-5x=\frac{2x+1+8x-3}{2}=\frac{10x-2}{2},$$
așadar,
$$19-5x=\frac{10x-2}{2}.$$
Acum putem da un factor comun în membrul drept al egalității, ca să-l simplificăm mai apoi. Adică
$$19-5x=\frac{10x-2}{2}=\frac{2(5x-1)}{2}=5x-1.$$
Apoi, trecând termenii cu $x$ în stânga și pe ceilalți în dreapta, obținem
$$-5x-5x=-1-19,$$
adică $$-10x=-20.$$
În final, obținem că $\color{red}{x=2}$.




Acum doresc să vă mai povestesc despre $\textbf{suma termenilor}$ unei progresii aritmetice. Iau ca exemplu, din nou, progresia
$$2, 5, 8, 11, 14 \dots$$
și vreau să găsesc suma acestor cinci termeni. Dacă îi veți aduna efectiv, veți obține, desigur, $S_5=2+5+8+11+14=40$.
Acum ne-ar plăcea să știm o formulă care să ne permită să adunăm oricâți termeni vrem noi, deci chiar și o mie de termeni ai acestei progresii. Deci, ne-ar interesa să găsim o metodă de a calcula  nu doar $a_1+a_2+a_3+a_4+a_5$, așa cum am făcut manual, ci chiar și
$$a_1+a_2+a_3+\dots +a_{1000}.$$

Cum facem? Am putea să ne folosim, de exemplu, de faptul pe care l-am aflat mai sus, și anume că $a_n=a_1+(n-1)r$. De ce ne-ar ajuta aceasta? Pentru că în loc de fiecare dintre termenii care trebuie adunați am putea să punem ceva cu $a_1$ ca să fie toți termenii la fel, căci cu termeni care sunt cam la fel putem să operăm mult mai bine. Haideți să vedem ce iese.

Deci, în loc de $a_2$ noi putem pune $a_1+r$, în loc de $a_3$ putem pune $a_1+2r$, apoi, în fine, în loc de $a_{1000}$ putem pune $a_1+999r$. Așadar, dacă adunăm toți acești termeni, vom avea de fapt
$$S_{1000}=a_1+a_2+a_3+\dots +a_{1000}=a_1+(a_1+r)+(a_1+2r)+\dots+(a_1+999r).$$
Desigur, voi veți înțelege că am pus parantezele așa, de-a moaca, pentru că nu erau necesare, ci le-am folosit doar ca să delimităm bine termenii progresiei. Altfel spus, expresia de mai sus o putem scrie fără paranteze și ne va ieși ceva de genul
$$S_{1000}=a_1+a_1+r+a_1+2r+\dots+a_1+999r.$$
Deci, avem de $1000$ de ori $a_1$ și mai avem o sumă în care apare doar rația. Adică, mai putem scrie
$$S_{1000}=1000\cdot a_1+r+2r+3r+\dots 999 r.$$
Mai dăm un factor comun atunci pe $r$ ca să nu-l scriem de atâtea ori și vom avea ceva mai omenesc, adică
$$S_{1000}=1000\cdot a_1+(1+2+3+\dots 999)r.$$
Acum ne-a mai rămas să vedem cât poate fi suma
$$1+2+3+\dots +998+999,$$
ca să scăpăm odată de punctele acelea de suspensie supărătoare.

În legătură cu această sumă circulă o poveste foarte frumoasă care ne amintește că această sumă a fost descoperită în clasă de Gauss, încă de pe vremea când acest mare matematician era elev.

Pentru a aduna asemenea numere, Gauss a observat că dacă adună primul termen cu ultimul (deci $1+999$), obține aceeași valoare ca și când adună al doilea termen cu penultimul (deci $2+998$).
Asta înseamnă că, dacă pune aceste numere unul sub altul pe două rânduri, astfel ca pe al doilea rând numerele să fie așezate în ordine inversă


$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline 1 & 2 & 3 & \dots &997 & 998 & 999\\ \hline 999 & 998 & 997 &\dots&3 & 2 & 1\\ \hline 1000 & 1000 & 1000 & \dots & 1000 & 1000 & 1000\\ \hline \end{array}$$
atunci obține pe al treilea rând mereu $1000$.
Rezultă atunci că de două ori suma numerelor de la $1$ la $999$ (că le-am adunat de două ori) are ca rezultat de $999$ de ori câte $1000$.
Așadar, suma lui Gauss a primelor $999$ de numere naturale va fi
$$1+2+3+\dots+999=\frac{999\cdot 1000}{2}.$$
Bineînțeles, această formulă nu ar trebui să fie valabilă doar pentru suma primelor $999$ de numere naturale, ci pentru suma oricâtor asemenea numere. De exemplu, avem și
$$1+2+3+4=\frac{4\cdot 5}{2}$$
sau
$$1+2+3+4+5+6+7=\frac{7\cdot 8}{2}.$$
Adică, pentru a aduna primele numere naturale, este suficient să înmulțim $\textit{ultimul număr}$ cu cel care urmează după el, iar rezultatul să-l împărțim la doi.

Așadar, ${\color{red}{\text{de la Gauss}}}$ încoace avem o frumusețe de formulă pe care vrem s-o întipărim aici:
$$\large{\color{red}{\boxed{1+2+3+\dots+n=\frac{n\cdot(n+1)}{2}}}}.$$
Acum avem o metodă de a calcula și mai departe suma primilor $1000$ de termeni ai progresiei aritmetice la care am ajuns deja:
$$S_{1000}=1000\cdot a_1+(1+2+3+\dots 999)r.$$
Așadar, acum putem scrie că
$$S_{1000}=1000\cdot a_1+\frac{999\cdot 1000}{2}r.$$
Bineînțeles, nu este suficient. În sensul că această formulă nu este suficient de frumoasă încât să avem pretenția de la ea că ar merita să o generalizăm la orice număr natural. În ultimă instanță, o formulă în care unul și același lucru apare de două ori sau de mai multe ori poate fi considerată destul de urâtă.

În cazul nostru, putem da factor comun pe $1000$. Și va ieși atunci
$$S_{1000}=1000\cdot \left(a_1+\frac{999r}{2}\right).$$
Parcă, parcă, formula asta e cu ceva mai frumoasă, dar încă tot nu suntem mulțumiți. Am vrea să vedem ce iese dacă aduna pe $a_1$ cu fracția aceea urâtă. Pentru aceasta, întâi dăm numitorul comun, $2$, și vom obține după amplificarea lui $a_1$ cu $2$ următoarea formulă:
$$S_{1000}=1000\cdot \frac{2a_1+999r}{2}.$$
Și încă mai putem face ceva, dacă scriem că $2a_1=a_1+a_1$ și ne amintim că $a_{1000}=a_1+999\cdot r$.
Deci, avem atunci
$$S_{1000}=1000\cdot \frac{a_1+a_1+999r}{2}=1000\cdot \frac{a_1+a_{1000}}{2}.$$
În fine, îl mai punem și pe $1000$ la numărător și vom obține atunci
$$S_{1000}=1000\cdot \frac{a_1+a_1+999r}{2}=\frac{1000\cdot(a_1+a_{1000})}{2}.$$
Parcă această formulă este mai frumoasă cu ceva, fiind mai scurtă. Nu-i așa? Și parcă seamănă puțin cu formula lui Gauss... Hmmm... Cum așa? Cum adică, „seamănă cu formula lui Gauss”?

Păi, haideți să le vedem pe amândouă, puse una sub alta, prima să fie formula lui Gauss pentru primele $1000$ de numere naturale, iar a doua să fie suma primilor $1000$ de termeni ai unei progresii aritmetice:
$$1+2+3+\dots +1000=\frac{1000\cdot(1+1000)}{2},$$
$$a_1+a_2+a_3+\dots+a_{1000}=\frac{1000\cdot(a_1+a_{1000})}{2}.$$
Așadar, acum știm să adunăm „dintr-un șut”, nu doar numere care merg unul după altul, ci chiar și numere care merg din $2$ în $2$ sau din $3$ în $3$ sau din oricât în oricât doriți voi. Căci putem scrie formula
$$\large{\color{red}{\boxed{S_n=a_1+a_2\dots+a_n=\frac{n\cdot(a_1+a_n)}{2}}}}.$$
Această formulă puternică, valabilă pentru orice progresie aritmetică, vă dă posibilitatea să calculați „dintr-un șut”, adică prin înmulțire, suma oricâtor termeni ai unei progresii aritmetice. Doar adunați primul termen cu ultimul, înmulțiți rezultatul cu numărul de termeni și apoi îl înjumătățiți. Sau vedeți voi cum faceți calculul mai repede, căci, de regulă, e mai bine să simplificați întâi cu $2$ și abia apoi să înmulțiți.

Să trecem acum la niște probleme și cu sume. Haideți să terminăm, de exemplu, $\textbf{cu suma celor $1000$ de termeni ai progresiei cu care v-am obișnuit deja}$ și anume
$$2, 5, 8, 11, 14 \dots$$
Pentru a găsi suma celor $1000$ de termeni, formula obținută cu atâta trudă
$$S_n=a_1+a_2\dots+a_n=\frac{n\cdot(a_1+a_n)}{2}.$$
spune că ne trebuie ceva ce încă nu cunoaștem, adică cel de-al $1000$-lea termen al progresiei. Așa că înainte de a aplica formula va trebui să-l calculăm pe acesta.
Dar noi știm să obținem orice termen când cunoaștem primul termen și rația. Rația progresiei noastre este $3$, așa că vom avea
$$a_{1000}=a_1+999r=2+999\cdot 3=2999.$$
Acum putem calcula suma dorită, adică avem
$$S_{1000}=\frac{1000(a_1+a_{1000})}{2}=\frac{1000\cdot(2+2999)}{2}.$$
Făcând calculele banale, obținem
$$S_{1000}=500\cdot 3001={\color{red}{1500500}}.$$