Faceți căutări pe acest blog

marți, 19 iulie 2016

Mate-info 2016, subiectul I, problema 1

Determinați numărul real $x$ știind că numerele $7$, $3x$ și $x^2+2$ sunt, în această ordine, termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.

Așa cum v-am povestit într-un articol precedent în care am scris despre progresii aritmetice, când este vorba despre "termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice" înseamnă că este vorba de regulă de TREI termeni ai unei progresii aritmetice, termeni care vin frumos, ordonat, unul după celălalt. Iar atunci când este vorba despre trei termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice, trebuie să vă amintiți automat de faptul că termenul din mijlocul celor trei este tocmai media aritmetică a vecinilor săi.





Aceasta este esența rezolvării problemei noastre. Restul sunt detalii. Iar pentru voi, de multe ori, este mai greu să găsiți esența, nu detaliile. Așadar, haideți să ne folosim de această esență pentru a rezolva problema. Adică, să aplicăm teoria la cei trei termeni consecutivi care ni s-au dat.
Termenii noștri consecutivi sunt: $7$, $3x$ și $x^2+2$. Aici termenul din mijloc este $3x$. Înseamnă că el este media aritmetică a vecinilor săi. Asta înseamnă că putem scrie relația de bază pentru problema noastră: $$3x =\frac{7+$x^2+2}{2}.$$
Asta-i toată esența problemei noastre. În relația de mai sus se ascunde tot adevărul care trebuia scris. Altfel spus, dacă scrieți acest lucru, sunteți deja câștigători, pentru că ați obținut în acest moment ditamai trei puncte din cele cinci posibile. Restul de două puncte le primiți pentru că știți să rezolvați o ecuație de gradul doi, ecuația care s-a născut din egalitatea precedentă.

Haideți atunci să rezolvăm și ecuația de gradul doi care se ascunde în egalitatea $$3x =\frac{7+$x^2+2}{2}.$$ 

Pentru a rezolva o ecuație de gradul doi, întâi trebuie să avem dată ecuația, de preferat sub forma canonică, adică, sub forma care începe cu termenul ce îl conține pe $x^2$ și se termină cu zero. 

Deci vom lucra întâi pentru a aduce egalitatea precedentă la forma canonică a unei ecuații de gradul doi. Pentru aceasta, scăpăm întâi de fracție, înmulțind toată egalitatea cu doi. Obținem  $$6x =7+x^2+2.$$ Mai bine zis, $$6x=x^2+9,$$ căci l-am adunat pe 7 cu 2. Acum rotesc egalitatea în jurul unei axe verticale ca să îl am pe $x^2$ în stânga (și pot face asta, deoarece, dacă $a=b$, atunci și $b=a$). 

Obțin, deci, $$x^2+9=6x.$$ Mai departe, pentru ca ecuația să aibă forma canonică, trebuie să ducem în partea stângă a egalității termenul $6x$ pentru ca în dreapta să ne rămână zero. Obținem atunci forma canonică a ecuației: $$x^2- 6x+9=0.$$   

Această ecuație este una simplă pe care o poate rezolva ușor (cel puțin cu delta) orice elev de la mate-info. Cea mai elegantă metodă de rezolvare este cea în care observăm că putem folosi formula de calcul prescurtat $$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2,$$ căci atunci putem scrie $$x^2-6x+9=(x-3)^2=0,$$ ceea ce ne furnizează automat soluția $$\color{red}{x=3}.$$

Mai departe, un elev atent va avea grijă să facă și proba! El va dori să verifice dacă,  într-adevăr, $x=3$ este o soluție pentru problema dată. Deci, va verifica dacă numerele $7$, $3\cdot 3$ și $3^2+2$ sunt în progresie aritmetică (desigur că sunt), pentru a putea ieși fericit din examen cu certitudinea că cel puțin prima problemă a rezolvat-o perfect.