Calculul radicalului de ordinul doi

Radicalul de ordinul doi din 16 este 4, deoarece 4 înmulțit cu el însuși de două ori este 16. Pentru a găsi radicalul unui număr avem la dispoziție un algoritm foarte asemănător cu împărțirea.

Haideți să ridicăm întâi la pătrat (deci, la puterea a doua) un număr. Să zicem, 267,89. Avem
$$267,89^2=267,89\cdot 267,89=71765,0521.$$

Acum, dacă vom extrage radical din 71765,0521 va trebui să obținem, desigur, tocmai 267,89.

Procedăm după cum urmează. Descriem în continuare cei patru pași de extragere a radicalului. Primii doi pași sunt nerecursivi (deci nu trebuie repetați), iar ultimii doi pași se repetă de câte ori este nevoie, deci sunt pași recursivi.

Pașii nerecursivi

Pasul 1: Structurarea pe grupe.  Structurăm numărul 71765,0521 în grupe de câte două cifre, începând de la virgulă, atât spre stânga virgulei, cât și spre dreapta ei. Așadar, pornind de la virgulă, numărul nostru structurat arată în felul următor:
$$71765,0521=\color{red}{7}\color{blue}{17}\color{green}{65},\color{red}{05}\color{blue}{21}.$$


Pasul 2: Radical din prima grupă. Mai departe, ne ocupăm de prima grupă (singura grupă specială), care este grupa $\color{red}{7}$. Ce facem cu ea? Căutăm să ghicim cel mai mare număr care ridicat la pătrat ne dă tocmai această grupă sau un număr ceva mai mic (așa cum și la împărțire căutăm să ghicim de câte ori se cuprinde câtul în deîmpărțit).

De exemplu, numărul 3 este prea mare, căci $3^2=3\cdot 3=9>7$. Atunci încercăm cu 2 și obținem $2^2=4<7$. Deci, $\color{red}{2}$ este numărul căutat, corespunzător grupei $\color{red}{7}$.

Continuăm similar ca în cazul împărțirii, doar că aici nu facem înmulțire, ci ridicare la pătrat. Mai exact, ridicăm la pătrat numărul $\color{red}{2}$, iar rezultatul îl scriem sub grupa $\color{red}{7}$ și facem diferența dintre $7$ și $4$ și ne rămâne $3$. Așadar, obținem:

$$\begin{array}{ c c c c c | c } \color{red}{7}&\color{blue}{17}&\color{green}{65},&\color{red}{05}&\color{blue}{21}&2 \\ \hline \underline{4}&&&&&\\ 3&&&&& \end{array}$$ .

Pașii recursivi

Pasul 3: Coborâre și dublare. Coborâm grupa următoare (în cazul nostru, grupa $\color{blue}{17}$) lângă rezultatul diferenței (deci, lângă 3) și dublăm rezultatul pe care l-am obținut până în acest moment (deci, îl dublăm pe 2 și îl transformăm în $2\cdot 2=4$).

Obținem atunci
$$\begin{array}{ r r c c c | c } \color{red}{7}&\color{blue}{17}&\color{green}{65},&\color{red}{05}&\color{blue}{21}&2 \\ \hline \underline{4}&&&&&4\\ &317&&&& \end{array}$$ .

Pasul 4: Determinarea cifrei următoare. Căutăm o cifră nouă, cea mai mare posibilă, pe care o atașăm la rezultatul dublat (în cazul nostru, 4), iar numărul obținut îl înmulțim tocmai cu această cifră și urmărim ca rezultatul înmulțirii obținut în asemenea condiții să nu depășească numărul format la pasul 3 prin coborârea grupei următoare (în cazul nostru, 317). Am prefigurat cifra pe care o căutăm cu semnul „ _ ” ca să vizualizăm unde va fi locul ei
$$\begin{array}{ r r c c c | l } \color{red}{7}&\color{blue}{17}&\color{green}{65},&\color{red}{05}&\color{blue}{21}&2 \\ \hline \underline{4}&&&&&4\text{ _}\cdot\text{_}\\ &317&&&& \end{array}$$ .

În cazul nostru, cifra căutată este tocmai 6 (deoarece rezultatul final complet va trebui să fie numărul 267,89 de la care am pornit cu exemplul nostru). Așadar, vom înmulți numărul $46$ cu $6$, iar rezultatul obținut îl vom așeza sub $317$ pentru a face scăderea. Obținem astfel
$$\begin{array}{ r r c c c | l } \color{red}{7}&\color{blue}{17}&\color{green}{65},&\color{red}{05}&\color{blue}{21}&2 \\ \hline \underline{4}&&&&&4\color{blue}{6}\cdot\color{blue}{6}=276\\ &317&&&&\\ &\underline{276}&&&&\\ &\text{ }41&&&& \end{array}$$ .

Odată ce am determinat această cifră, ea va reprezenta cifra următoare a rezultatului final și o așezăm lângă numărul existent deja, adică lângă 2. Prin urmare, până în prezent rezultatul nostru a devenit egal cu 26.



De aici încolo procedăm prin repetarea pașilor 3 și 4 până când obținem rezultatul final. Așadar, coborâm următoarea grupă lângă 41 și determinăm cu chiu cu vai cifra următoare:

$$\begin{array}{ r r r c c | l } \color{red}{7}&\color{blue}{17}&\color{green}{65},&\color{red}{05}&\color{blue}{21}&2\color{blue}{6} \\ \hline \underline{4}&&&&&\underline{4\color{blue}{6}\cdot\color{blue}{6}=276}\\ &317&&&&52\text{ _}\cdot\text{_}\\ &\underline{276}&&&&\\ &&4165&&& \end{array}$$ .

Tragem cu ochiul la rezultatul final (267,89) și deducem fără nicio încercare că cifra următoare este 7. Dacă n-am ști rezultatul, desigur, ar trebui să încercăm pe rând câteva cifre până găsim cifra optimă, cea mai mare posibilă („ _ ”), dar nici prea mare, ca nu cumva rezultatul înmulțirii (dintre 52_ și _) să depășească noul număr obținut prin coborârea grupei curente (deci numărul 4165).

Așadar, suntem în situația
$$\begin{array}{ r r r c c | l } \color{red}{7}&\color{blue}{17}&\color{green}{65},&\color{red}{05}&\color{blue}{21}&2\color{blue}{6}\color{green}{7} \\ \hline \underline{4}&&&&&\underline{4\color{blue}{6}\cdot\color{blue}{6}=276}\\ &317&&&&52\color{green}{7}\cdot\color{green}{7}=3689\\ &\underline{276}&&&&\\ &&4165&&&\\ &&\underline{3689}&&&\\ &&\text{ }476 \end{array}$$ .


Acum am ajuns la virgulă. Asta înseamnă că vom proceda în continuare la fel ca mai sus cu pașii 3 și 4, doar că odată cu coborârea grupei de după virgulă, va trebui să adăugăm virgula și la rezultatul curent. Avem atunci

$$\begin{array}{ r r r r c | l } \color{red}{7}&\color{blue}{17}&\color{green}{65},&\color{red}{05}&\color{blue}{21}&2\color{blue}{6}\color{green}{7}, \\ \hline \underline{4}&&&&&\underline{4\color{blue}{6}\cdot\color{blue}{6}=276}\\ &317&&&&\underline{52\color{green}{7}\cdot\color{green}{7}=3689}\\ &\underline{276}&&&&534\text{ _}\cdot\text{_}\\ &&4165&&&\\ &&\underline{3689}&&&\\ &&&47605&& \end{array}$$ ,

deci

$$\begin{array}{ r r r r c | l } \color{red}{7}&\color{blue}{17}&\color{green}{65},&\color{red}{05}&\color{blue}{21}&2\color{blue}{6}\color{green}{7},\color{red}{8} \\ \hline \underline{4}&&&&&\underline{4\color{blue}{6}\cdot\color{blue}{6}=276}\\ &317&&&&\underline{52\color{green}{7}\cdot\color{green}{7}=3689}\\ &\underline{276}&&&&534\color{red}{8}\cdot\color{red}{8}=42784\\ &&4165&&&\\ &&\underline{3689}&&&\\ &&&47605&&\\ &&&\underline{42784}&&\\ &&&\text{}4821 \end{array}$$ .

În fine, coborâm ultima grupă. Ce coincidență, este chiar 21! Așadar,
$$\begin{array}{ r r r r r | l } \color{red}{7}&\color{blue}{17}&\color{green}{65},&\color{red}{05}&\color{blue}{21}&2\color{blue}{6}\color{green}{7},\color{red}{8} \\ \hline \underline{4}&&&&&\underline{4\color{blue}{6}\cdot\color{blue}{6}=276}\\ &317&&&&\underline{52\color{green}{7}\cdot\color{green}{7}=3689}\\ &\underline{276}&&&&\underline{534\color{red}{8}\cdot\color{red}{8}=42784}\\ &&4165&&&5356\text{ _}\cdot\text{_}\\ &&\underline{3689}&&&\\ &&&47605&&\\ &&&\underline{42784}&&\\ &&&&482121 \end{array}$$ .

Observați că am dublat numărul 2678, fără să ne mai pese de virgulă, căci virgula am pus-o deja unde trebuia și nu ne mai chinuie cu nimic.

În fine, schema noastră de calcul arată în totalitate astfel:

$$\begin{array}{ r r r r r | l } \color{red}{7}&\color{blue}{17}&\color{green}{65},&\color{red}{05}&\color{blue}{21}&2\color{blue}{6}\color{green}{7},\color{red}{8}\color{blue}{9} \\ \hline \underline{4}&&&&&\underline{4\color{blue}{6}\cdot\color{blue}{6}=276}\\ &317&&&&\underline{52\color{green}{7}\cdot\color{green}{7}=3689}\\ &\underline{276}&&&&\underline{534\color{red}{8}\cdot\color{red}{8}=42784}\\ &&4165&&&5356\color{blue}{9}\cdot\color{blue}{9}=482121\\ &&\underline{3689}&&&\\ &&&47605&&\\ &&&\underline{42784}&&\\ &&&&482121\\ &&&&\underline{482121}\\ &&&&==== \end{array}$$ .

Sper că am reușit să vă fiu de folos...


Editare ulterioară: am mai scris un articol despre un șir interesant care vă permite calculul radicalului de ordinul doi, prin recurență. Cred că merită să-l citiți.