Faceți căutări pe acest blog

marți, 11 noiembrie 2014

Un șir ce-mi trezește nostalgii


Pe vremea când eram eu de vârsta voastră, dragi elevi, abia apăreau calculatoarele de buzunar și ceasurile electronice, niște minuni care pe mine m-au fascinat așa precum vă fascinează azi pe voi telefoanele-astea mobile super-inteligente.

Și nu știu cum se făcu' odată că am aflat atunci de un șir buclucaș pe care l-am sucit și răsucit în toate părțile cu un asemenea calculator de buzunar de care vă povestesc.

Șirul în sine dacă-l vedeți n-o să vă spună mare lucru, dar după ce ne jucăm puțin cu el veți vedea altfel lucrurile.

Iată șirul:
$$x_{n+1}=\frac{1}{2}\left(x_n+\frac{a}{x_n}\right).$$

Această relație ne spune că dacă vrem să găsim termenul următor al șirului, să împărțim întâi numărul constant $a$ la termenul curent al șirului, apoi să adunăm rezultatul cu termenul curent, după care ceea ce obținem să împărțim la doi.

Nu e mare lucru. E doar o relație de recurență între doi termeni consecutivi ai șirului.

Zis și făcut. Mi-am luat calculatorul de buzunar și am procedat după cum urmează:
-1). Am ales întâi cine să fie $a$, să zicem $5$;
-2). Am început cu un număr oarecare, să zicem $1$, pe care l-am considerat a fi tocmai primul termen al șirului;
-3). Am memorat acest prim termen $1$ în memoria calculatorului (aveai acolo o opțiune pentru asta);
-4). Am împărțit numărul ales $a=5$ la memoria calculatorului (care a fost la început, după cum vă spuneam, $x_1=1$), am adunat rezultatul cu memoria calculatorului, apoi am împărțit rezultatul la 2 și am înlocuit ceea ce era în memorie cu ultimul rezultat;
-5). Am repetat pasul 4 de cât mai multe ori până când nu se mai schimba nimic pe ecran datorită preciziei mici a calculatorului.

Ce credeți că obțineam? Unii dintre voi poate își amintesc, alții doar bănuiesc, alții în schimb se vor minuna: obțineam o valoare foarte bună pentru radical din $a=5$!



Haideți să vedem cum se petrec lucrurile concret. Punem în memoria calculatorului M=1. Facem apoi (5:M+M):2 și obținem rezultatul 3. Acum schimbăm conținutul memoriei și punem în loc de conținutul vechi M=1 conținutul M=3.

Facem din nou (5:M+M):2, de data aceasta obținem 2,33333333. Acum îl facem pe M să fie 2,33333333 și obținem 2,238095238.

Apoi, repetând pașii indicați, obținem o listă precum cea de mai jos:

aM(a:M+M):2
513
32,333333333
radical din a2,3333333332,238095238
2,2360679772,2380952382,236068896
2,2360688962,236067977
2,2360679772,236067977
2,2360679772,236067977
2,2360679772,236067977
2,2360679772,236067977


Pentru $a=2$ obținem lista
aM(a:M+M):2
211,5
1,51,416666667
radical din a1,4166666671,414215686
1,4142135621,4142156861,414213562
1,4142135621,414213562
1,4142135621,414213562
1,4142135621,414213562
1,4142135621,414213562
1,4142135621,414213562


Sau pentru $a=7$ obținem lista
aM(a:M+M):2
714
42,875
radical din a2,8752,654891304
2,6457513112,6548913042,645767044
2,6457670442,645751311
2,6457513112,645751311
2,6457513112,645751311
2,6457513112,645751311
2,6457513112,645751311


Sau, mai interesant, pentru $a=9$
aM(a:M+M):2
915
53,4
radical din a3,43,023529412
33,0235294123,000091554
3,0000915543,000000001
3,0000000013
33
33
33

Faceți-vă și voi o asemenea listă în GoogleDocs și jucați-vă cu ea.

Observați ce repede converge șirul! Sunt suficienți doar câțiva pași și obținem radicalul căutat, fără să ne mai chinuim cu calculul mai amănunțit.

Mda, cam cu de-astea îmi băteam eu capul când eram adolescent. Așa ți-e cu pasionații ăștia bolunzi...

Niciun comentariu:

Trimiteți un comentariu

Exprimați-vă părerea despre articol sau cereți lămuriri suplimentare, ca să transmitem cât mai multă informație celor care au nevoie de ea.

Comentariul va apărea după un anumit interval de timp necesar moderării.