Faceți căutări pe acest blog

joi, 15 ianuarie 2015

Varianta model pentru bacalaureat, 2015, mate-info (M1), subiectul I, problema 2


Arătați că $3(x_1+x_2)-4x_1x_2=3$, unde $x_1$ și $x_2$ sunt soluțiile ecuației $x^2-5x+3=0$.


Ar fi inutil și am pierde timp prețios dacă ne-ar fi lene să gândim puțin și ne-am arunca direct în găsirea soluțiilor $x_1$ și $x_2$ cu metoda veche, aceea cu delta. Nu e cazul!

Ori de câte ori avem de calculat o expresie ce conține suma și produsul rădăcinilor, ne va sări mintea la RELAȚIILE LUI VIÈTE. Căci, atât suma, cât și produsul, constituie ambele relații ale lui Viète și le putem înlocui cu valorile coeficienților care apar în ecuație.

Mai exact,
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{-5}{1}=5$
și
$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{3}{1}=3$.

Așadar, $$\color{blue}{3(x_1+x_2)-4x_1x_2}=3\cdot 5-4\cdot 3=15-12=\color{red}{3},$$ așa cum trebuia să arătăm.








Dar, dacă totuși doriți să vedeți cum ar fi arătat soluțiile acestei ecuații, le putem obține cu delta. Astfel, $\Delta=25-12=13$. Acest $13$, nefiind un pătrat perfect, este deja suficient de urât încât să vă pună pe gânduri cum că nu prea sunteți pe drumul bun spre rezolvarea problemei în maniera cea mai bine punctată.

Am avea mai departe $x_1=\frac{5-\sqrt{13}}{2}$ și $x_2=\frac{5+\sqrt{13}}{2}$.

Adunând aceste soluții vă va rămâne $5$, iar înmulțindu-le și folosindu-vă eventual de formula de calcul prescurtat $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$, unde $a=\frac{5}{2}$, iar $b=\frac{\sqrt{13}}{2}$, veți obține $\frac{25-13}{4}=3$. Adică aceleași rezultate pe care le-am obținut mai sus mult mai simplu cu relațiile lui Viète.