Faceți căutări pe acest blog

joi, 22 ianuarie 2015

Varianta model pentru bacalaureat, 2015, mate-info (M1), subiectul II, problema 1.a


Se consideră matricea $A(a)=\begin{pmatrix}1&1&1\\0&a&a+1\\2&a+2&a+3\end{pmatrix}$, unde $a$ este un număr real. Calculați determinantul acestei matrice.




Determinantul unei matrice este un număr. Și este un număr tare important. Așa că ar cam fi frumos ca elevul să știe să calculeze măcar determinantul de ordinul doi (deci, al unei matrice cu două linii și două coloane) și de ordinul trei.


Există o mulțime de posibilități pentru a calcula determinantul unei matrice de ordinul trei, iar elevul chiar are de unde să aleagă. Se cunoaște bine de tot regula lui Sarrus, regula triunghiului (valabile pentru ordinul trei), precum și regula dezvoltării după elementele unei linii sau coloane (regulă care este valabilă de data aceasta pentru orice ordin).

Mai exact, la regula lui Sarrus copiem jos primele două linii ale determinantului sub a treia linie (sau copiem în dreapta primele două coloane)

$$\det A=\begin{vmatrix}
\color{magenta}{1}&1&\color{limegreen}{1}\\0&\color{magenta}{a}&a+1\\\color{limegreen}{2}&a+2&\color{magenta}{a+3}\
\end{vmatrix}\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\begin{matrix}
1&1&1\\0&\,\,\,a\text{   }\,\,&\,\,a+1\\
\end{matrix}$$

și calculăm produsele de pe liniile oblice paralele cu diagonala principală (diagonala care pornește din stânga-sus și ajunge în dreapta-jos) pe care le adunăm, după care calculăm produsele de pe liniile oblice paralele cu diagonala secundară (diagonala care pornește din dreapta-sus și ajunge în stânga-jos) pe care le scădem.

Am obține atunci că $$\det A=a(a+3)+2(a+1)-2a-(a+2)(a+1).$$
Observați, deci, o groază de lucru.

Iar regula triunghiului este aceeași cu regula lui Sarrus, doar că se adresează celor care au imaginație mai bogată și care nu mai sunt nevoiți să scrie din nou efectiv primele două linii sub cea de-a treia, ci își imaginează ei cam ce ar trebui să înmulțească dacă ar avea deja copiate primele două linii. Se observă cu această ocazie că laturile mici ale triunghiurilor formate sunt paralele cu diagonala principală (la produsele ce trebuiesc adunate) și, respectiv, paralele cu diagonala secundară (la produsele care trebuiesc scăzute).

Așadar, nici cu regula triunghiului nu prea scăpăm de lucru.



Atunci, din acest noian de posibilități, elevul trebuie să aleagă una care îl duce cel mai repede la rezultat. Elevul atent va observa din timp că regula lui Sarrus sau cea a triunghiului implică, după cum s-a văzut mai sus, înmulțiri laborioase cu paranteze ce conțin $a+1$, $a+2$ și $a+3$. De aceea, el le va evita din start pentru că va simți din experiență că este o mare pierdere de vreme.



Apoi, elevul care are ceva cunoștințe în spate își va aminti că determinantul unei matrice nu se schimbă dacă „ne jucăm” cu liniile sau coloanele sale. Important este ca jocul nostru să respecte niște reguli simple. Astfel, determinantul nu se schimbă dacă în loc de una dintre liniile (sau coloanele) sale scriem o altă linie (coloană) pe care am obținut-o ca și o combinație liniară formată cu liniile (respectiv, coloanele) determinantului.

Spunem despre elementul $A$ că este o combinație liniară de elementele $\{a,\,b,\,c,\,\dots ,\,y,\,z\}$ dacă acel element poate fi scris în funcție de celelalte elemente ca un fel de polinom (fără puteri!), adică $$A=5a+9b-3c\dots+6y-8z.$$ Bineînțeles, am scris eu niște numere oarecare acolo, dar voi vă puteți gândi că acolo pot apărea orice numere dacă expresia este combinație liniară. Important este ca aceste numere să nu fie toate nule!

În baza acestei cunoștințe, elevul va ști că valoarea determinantului nu se modifică dacă va rescrie determinantul sub o altă formă. Așadar, experiența îi va spune să rescrie determinantul copiind primele două linii, dar în locul celei de-a treia linii scriind o altă linie care a rezultat scăzând din linia a treia dublul primei linii, acțiune pe care am notat-o mai jos simbolic cu $\color{blue}{L_3-2L_1}$.

Astfel, elevul va obține determinantul
$$\begin{vmatrix}
1&1&1\\0&a&a+1\\2&a+2&a+3\
\end{vmatrix}\begin{matrix}\color{blue}{L_3-2L_1}\\=\end{matrix}\begin{vmatrix}
1&1&1\\0&a&a+1\\2-\color{red}{2\cdot 1}&a+2-\color{red}{2\cdot 1}&a+3-\color{red}{2\cdot 1}\
\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}
1&1&1\\0&a&a+1\\0&a&a+1\
\end{vmatrix}.$$



De aici încolo totul este boierie. Pentru că un asemenea determinant nu mai trebuie calculat, ci se vede de la o poștă cât este rezultatul. Mai exact, un determinant care are două linii (sau două coloane) egale este nul! Adică, este egal cu zero.

Așadar, am acum speranța că dacă veți mai întâlni la bac un asemenea determinant, îl veți putea calcula foarte repede cu ajutorul combinației liniare. Dar pentru aceasta, va trebui să nu vă grăbiți să vă aruncați imediat la calcule laborioase cu metoda lui Sarrus sau a triunghiului. Chiar dacă sunteți bucuroși că știți să calculați cumva determinantul, va trebui totuși să vă opriți tentația irezistibilă de a trece imediat la calcule și acordați-vă timp minții să observe dacă nu cumva jucându-vă cu o anumită combinație liniară puteți aduce determinantul la o formă mai simplă. Acest control este cu atât mai necesar, cu cât determinantul pare mai complex, conținând termeni mai lungi.