Varianta model pentru bacalaureat, 2015, mate-info (M1), subiectul II, problema 1.b

Se consideră matricea $A(a)=\begin{pmatrix}1&1&1\\0&a&a+1\\2&a+2&a+3\end{pmatrix}$, unde $a$ este un număr real. 

Determinați numărul natural $n$ astfel încât $2A(n^2)-A(n)=A(6)$.

Observați că, la prima vedere, problema este foarte ușoară. Căci, cine nu știe să înmulțească cu doi o matrice și apoi să scadă din rezultat o altă matrice după care să analizeze egalitatea dintre matricea rezultată în stânga și matricea $A(6)$?

Interesant este, însă, că problema este chiar mai ușoară de atât! Pentru că elevul perspicace, care este mereu preocupat de eficiență, va observa că ecuația matriceală dată spre rezolvare se reduce de fapt la o ecuație numerică pentru că problema nu ne cere nimic mai mult decât tocmai numărul din mijlocul matricei $A(\color{magenta}{\textbf{n}})=\begin{pmatrix}1&1&1\\0&\color{magenta}{\textbf{n}}&n+1\\2&n+2&n+3\end{pmatrix}$.

Altfel spus, în toată ecuația matriceală nu ne interesează altceva decât ceea ce se întâmplă cu termenul din mijlocul matricei. Simbolic, am putea spune că „simplificăm toată ecuația $2A(n^2)-A(n)=A(6)$ cu $A$” și obținem ecuația $\color{magenta}{2n^2-n=6}$.

După ce am observat acest lucru, putem face o verificare mentală rapidă („ochiometrică”) și constatăm ușor că și celelalte elemente ale matricei ne-ar duce de fapt la aceeași ecuație, fără să aducă nicio complicație suplimentară. Așadar, putem fi liniștiți că ecuația matriceală dată $2A(n^2)-A(n)=A(6)$ este satisfăcută dacă este satisfăcută ecuația numerică $2n^2-n=6$.

În răspunsul nostru pe care îl vom da la bac va fi suficient să menționăm ceva de genul: „Observăm că ecuația matriceală dată se rezumă la ecuația numerică $2n^2-n=6$.”. Căci, examinatorul vă va crede pe cuvânt.

Ok. Să trecem atunci la rezolvarea ecuației banale $2n^2-n=6$. Trebuie să găsim un număr natural $n$ care satisface, după cum vedeți, o ecuație cu coeficienți întregi: $2n^2-n-6=0$.

Am putea rezolva această ecuație după metoda băbească, cu delta, doar că elevul de M1, considerat mult mai eficient, este indicat să știe să rezolve o asemenea ecuație mult mai rapid. Astfel, el își va aminti că rădăcinile întregi ale unei ecuații cu coeficienți întregi se găsesc printre divizorii termenului liber. 

Paranteză

De altfel, chiar dacă nu este necesar în acest moment, mintea plină de informații fuge și mai departe, iar elevul își poate aminti și ceva foarte util și mult mai general, despre care îmi face mare plăcere să vă vorbesc aici:

Rădăcinile raționale (deci, cele ce se pot scrie sub formă de fracție) ale unei ecuații cu coeficienți întregi au:

1. numărătorul fracției printre divizorii termenului liber (termenul care nu are $x$);
2. numitorul fracției printre divizorii termenului dominant (coeficientul care se află în fața lui $x$ de la puterea cea mai mare).

Așadar, rădăcinile raționale ale unei ecuații cu coeficienți fără virgulă sunt fracții de forma:

$$\frac{\text{divizor al termenului liber}}{\text{divizor al termenului dominant}}.$$

Puteți prescurta cu fracția $$\frac{\text{liber}}{\text{dominant}}.$$

Și încă, puteți asocia această fracție cu propoziția „libertatea este deasupra dominației”, cu sensul că libertatea este mai eficientă decât dominația.

Am cam lungit această paranteză (pe care am scris-o cu font italic), dar vreau din tot sufletul să rețineți această proprietate fascinantă a numeroaselor ecuații polinomiale cu coeficienți întregi.



Să revenim atunci, după această paranteză, la rezolvarea ecuației noastre banale $2n^2-n-6=0$, pe care aș fi putut-o rezolva băbește cu delta și să mă scap repede de voi. Dar nu, eu am vrut să o rezolvăm mult mai elegant, mult mai eficient.

Nouă ne trebuie rădăcinile naturale ale ecuației $2n^2-n-6=0$. Că așa cere problema. Așadar, ne trebuie „fracțiile” care au la numitor numărul $1$. Așadar, vom căuta rădăcinile printre divizorii termenului liber, fără să ne mai pese de divizorii termenului dominant. Și, în plus, nu ne vom chinui să luăm în calcul și divizorii negativi ai termenului liber, din moment ce nouă ne trebuie doar rădăcinile naturale (care sunt, din start, pozitive).

Așadar, care sunt divizorii pozitivi ai termenului nostru liber? Termenul liber este $-6$. Divizorii pozitivi ai lui $-6$ sunt $1$, $2$, $3$ și $6$. Avem deci patru posibilități. Și abia acum începe adevărata rezolvare concretă a ecuației noastre.

Toate considerațiile noastre anterioare au fost doar teoretice. De-acum punem în practică șmecheria cu divizorii. Deci, avem cele patru posibilități, $1$, $2$, $3$ și $6$. Toată munca de rezolvare a problemei se reduce la simpla verificare a fiecăreia dintre cele patru posibilități. Verificăm care dintre ele satisfac ecuația $2n^2-n-6=0$.

Se vede că valorile mari nu o satisfac, deci nici $6$ nu satisface ecuația. De asemenea, $2\cdot 3^2-3-6$ nu este $0$. Așa că singurul divizor care satisface ecuația este $\color{red}{2}$. Acesta este numărul natural căutat.