Varianta model pentru bacalaureat, 2015, mate-info (M1), subiectul I, problema 3

Rezolvați în $\mathbb{R}$ ecuația $4^x-3\cdot 2^x+2=0$.


Nu știm să rezolvăm ecuații exponențiale în general, așa că trebuie să facem un artificiu, o șmecherie, prin care să transformăm ecuația exponențială într-una cu care suntem familiarizați. Și care este cea mai uzuală ecuație pe care știm s-o rezolvăm? Desigur, ecuația de gradul doi. Așadar, haideți să vedem dacă nu cumva ecuația noastră exponențială poate deveni o ecuație de gradul doi.

Înainte de toate, ca să scăpăm de exponentul acela care ne încurcă, facem substituția $$t=2^x$$ . Așadar, ecuația noastră devine $4^x-3t+2=0$.

Acum ne mai încurcă $4^x$. Pentru aceasta ne mai trebuie un pas în care să ne amintim câteva formule de calcul cu puteri. Avem
$$4^x=(2^2)^x=2^{2\cdot x}.$$

Cum înmulțirea de la exponent este comutativă, obținem
$$4^x=(2^2)^x=2^\color{blue}{2\cdot x}=2^\color{blue}{x\cdot 2}=(2^x)^2=t^2.$$

Așadar, ecuația noastră exponențială devine în totalitate ecuație de gradul doi
$$t^2-3t+2=0.$$

Aceasta este una dintre cele mai cunoscute ecuații de gradul doi și sunt convins că îi puteți calcula ușor și repede soluțiile, eventual cu ajutorul relațiilor lui Viète sau, mai primitiv, cu delta. Obținem atunci $t_1=1$ și $t_2=2$.

Dar nouă ne trebuiesc valorile pentru $x$, nu pentru $t$. Unii elevi pur și simplu uită să termine problema, având impresia că după rezolvarea ecuației în $t$ au terminat întreaga rezolvare. Ei bine, mai trebuie să găsim valorile corespunzătoare pentru $x$ din relația $2^x=t$.

Avem atunci și pentru $x$ două valori. Prima valoare a lui $x$ este cea care corespunde primei valori a lui $t$. Deci, $2^{x_1}=t_1=1$. Dar, $2$ la ce putere ne dă $1$? Evident, la puterea $0$. Așadar, $\color{red}{x_1=0}$.

Pe $x_2$ îl găsim din relația $2^{x_2}=t_2=2$. Deci, $2$ la ce putere ne dă tot $2$? Evident, la puterea $1$. Astfel, obținem că $\color{red}{x_2=1}$.