Faceți căutări pe acest blog

duminică, 31 iulie 2016

Mate-info 2016, subiectul III, problema 1a

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$,  $f(x) =e^x-\frac 1 2 x^2 - x-1 $.

Arătați că $f^\prime(x) =e^x-x-1$. 


De obicei, problemele de la subpunctul a sunt mai ușoare. Și aceasta este ușoară. Avem de calculat derivata unei funcții destul de simple, o funcție care conține trei termeni.

Derivata unei sume (sau, bineînțeles, diferențe) de trei termeni se reduce la o sumă de trei derivate. Mai exact, $$\color{blue} {(f+g+h)^\prime=f'+g'+h'}. $$



Așadar, derivata noastră va fi ceva plictisitor:
 $$f^\prime(x)=(e^x)^\prime-\left(\frac 1 2 x ^2 \right)^\prime - x'-1'. $$

Știm că $e^x$ este singura funcție care nu se schimbă deloc nici prin derivare și nici prin integrare. Deci, $$(e^x)^\prime =e ^x. $$

Apoi mai știm că numerele din paranteza ce trebuie derivată pot fi scoase în afara parantezei, după regula $$\color{blue} {(c\cdot f)^\prime=c\cdot f'}. $$

Înseamnă că numărul $\frac 1 2 $ iese și el în fața parantezei și vom avea $$\left(\frac 1 2 x ^2 \right)^\prime =\frac 1 2\left(x ^2 \right)^\prime.  $$

Mai știm, în fine, că $$\color{blue} {\left(x ^n \right)^\prime=nx^{n-1} }. $$ Asta înseamnă că $$\left(x ^2 \right)^\prime=2x.$$ Astfel, $\left(\frac 1 2 x ^2 \right)^\prime$ devine $$\left(\frac 1 2 x ^2 \right)^\prime=\frac 1 2 \cdot 2x=x,$$ căci am simplificat cu $2$.

După aceeași regulă de mai sus, $$x'=x^0=1$$ și $$1'=\left(x ^0 \right)^\prime=0.$$

Grupând rezultatele de mai sus, obținem atunci că  $$f^\prime(x)=(e^x)^\prime-\left(\frac 1 2 x ^2 \right)^\prime - x'-1'=\color {red} {e^x-x-1}, $$ ceea ce trebuia arătat. 

Niciun comentariu:

Trimiteți un comentariu

Exprimați-vă părerea despre articol sau cereți lămuriri suplimentare, ca să transmitem cât mai multă informație celor care au nevoie de ea.

Comentariul va apărea după un anumit interval de timp necesar moderării.