Faceți căutări pe acest blog

duminică, 31 iulie 2016

Mate-info 2016, subiectul III, problema 1a

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$,  $f(x) =e^x-\frac 1 2 x^2 - x-1 $.

Arătați că $f^\prime(x) =e^x-x-1$. 


De obicei, problemele de la subpunctul a sunt mai ușoare. Și aceasta este ușoară. Avem de calculat derivata unei funcții destul de simple, o funcție care conține trei termeni.

Derivata unei sume (sau, bineînțeles, diferențe) de trei termeni se reduce la o sumă de trei derivate. Mai exact, $$\color{blue} {(f+g+h)^\prime=f'+g'+h'}. $$



Așadar, derivata noastră va fi ceva plictisitor:
 $$f^\prime(x)=(e^x)^\prime-\left(\frac 1 2 x ^2 \right)^\prime - x'-1'. $$

Știm că $e^x$ este singura funcție care nu se schimbă deloc nici prin derivare și nici prin integrare. Deci, $$(e^x)^\prime =e ^x. $$

Apoi mai știm că numerele din paranteza ce trebuie derivată pot fi scoase în afara parantezei, după regula $$\color{blue} {(c\cdot f)^\prime=c\cdot f'}. $$

Înseamnă că numărul $\frac 1 2 $ iese și el în fața parantezei și vom avea $$\left(\frac 1 2 x ^2 \right)^\prime =\frac 1 2\left(x ^2 \right)^\prime.  $$

Mai știm, în fine, că $$\color{blue} {\left(x ^n \right)^\prime=nx^{n-1} }. $$ Asta înseamnă că $$\left(x ^2 \right)^\prime=2x.$$ Astfel, $\left(\frac 1 2 x ^2 \right)^\prime$ devine $$\left(\frac 1 2 x ^2 \right)^\prime=\frac 1 2 \cdot 2x=x,$$ căci am simplificat cu $2$.

După aceeași regulă de mai sus, $$x'=x^0=1$$ și $$1'=\left(x ^0 \right)^\prime=0.$$

Grupând rezultatele de mai sus, obținem atunci că  $$f^\prime(x)=(e^x)^\prime-\left(\frac 1 2 x ^2 \right)^\prime - x'-1'=\color {red} {e^x-x-1}, $$ ceea ce trebuia arătat.