Faceți căutări pe acest blog

duminică, 24 iulie 2016

Mate-info 2016, subiectul I, problema 6


Calculați lungimea razei cercului circumscris triunghiului $ABC$ în care $A=\frac{3\pi} {4} $ și $BC=\sqrt 2$.

La ce vă gândiți automat în momentul în care auziți de "raza cercului circumscris"?  Nu știu la ce vă gândiți voi, dar eu mă gândesc întâi la teorema sinusurilor.

Teorema sinusurilor este un șir de egalități care conțin sinusurile (nu pe cele nazale, ci pe cele unghiulare  😊 ).

Ea se poate scrie sub forma:  $$\color{blue} {\frac {BC} {\sin A}=\frac {AC} {\sin B}=\frac{AB} {\sin C}=2R}. $$



Aceasta este teorema sinusurilor. Observați că litera care lipsește sus la numărător se află jos la numitor.

Nouă ni se dă unghiul $A$ și latura $BC$, așa că ne vom folosi doar de fracția ce conține aceste valori. Adică, vom putea scrie $$\frac{BC} {\sin A}=2R. $$ Putem scrie această egalitate și sub forma $$2R=\frac{BC} {\sin A}.$$

Să vedem ce iese dacă facem înlocuirile. Am obține $$2R=\frac{\sqrt 2} {\sin \frac {3\pi } {4}}.$$

Toate ar fi bune și frumoase dacă nu ar fi fost acest $\sin\frac{3\pi}{4}$ care să încurce ițele. N-au putut să ne dea și nouă o valoare mai normală, nu ditamai $\sin \frac {3\pi } {4}$? Offf, examinatorii ăștia!

Cât o fi $ \frac {3\pi } {4}$? Hai să vedem întâi în grade. După metoda de care vorbeam într-un articol trecut, punem în locul lui $\pi $ $180$ de grade și obținem că $\frac {3\pi } {4}$ devine în grade $\frac {3\cdot 180} {4}=3\cdot 45=135$ de grade.

Acum, pentru a găsi cât este $\sin 135^\circ$, ne amintim de ceea ce scriam într-un alt articol anterior despre reducerea la primul cadran și aflăm acolo că $$\sin 135^\circ=\cos (135^\circ-90^\circ)=\cos 45^\circ. $$

Atunci, folosindu-ne de tabelul trigonometric, obținem că $$\sin \frac {3\pi } {4}=\frac{\sqrt 2 } {2 }. $$

Am obținut, în sfârșit, și ultima valoare necesară pentru a găsi raza căutată. Așadar, mai scriem egalitatea care ne dă raza, de data aceasta cu valoarea obținută: $$2R=\frac{\sqrt 2} {\frac {\sqrt 2  } {2 }}.$$

Mai departe, prelucrând fracția supraetajată (scriem numărătorul neschimbat și înmulțim cu numitorul răsturnat) și apoi simplificând, obținem $$2R=\sqrt 2\cdot\frac{2}{\sqrt 2 }=2, $$ adică $$\color{red} {R=1} . $$