Faceți căutări pe acest blog

joi, 6 noiembrie 2014

Formule de reținut pentru aria triunghiului


Există mai multe formule pentru aria unui triunghi pe care trebuie să le știți la bac. Cea mai banală dintre ele este: baza ori înălțimea supra doi. Astfel, dacă vi se dă un triunghi la care cunoașteți una dintre laturi (ce poate fi considerată bază) și înălțimea corespunzătoare bazei, atunci puteți determina ușor aria triunghiului aplicând formula banală
$$A_{\color{blue}{\Delta}}=\frac{\color{red}{b}\cdot\color{blue}{h}}{2}.$$

Desigur, puteam roti acest triunghi cu un anumit unghi într-un anumit sens, fără ca aria lui să se modifice. Altfel spus, triunghiul

are aceeași arie cu triunghiul anterior.

De aici mai putem deduce că aria triunghiului nu depinde de latura pe care o considerăm bază, ci important este să avem înălțimea corespunzătoare acelei laturi.




O altă formulă pentru aria triunghiului este cea care folosește două laturi și unghiul dintre ele. Această formulă ne spune că aria triunghiului este: produsul celor două laturi înmulțit cu sinusul unghiului dintre cele două laturi și împărțit cu doi.

Astfel, aria triunghiului din figura de mai jos

este dată de formula
$$A_{\color{yellow}{\Delta}}=\frac{\color{red}{a}\cdot\color{limegreen}{c}\cdot\sin\color{blue}{u}}{2}.$$




O formulă puternică pentru aria unui triunghi este formula lui Heron. Această formulă nu ne cere nimic din interiorul triunghiului (precum au fost înălțimea și unghiul), ci îi sunt suficiente doar laturile triunghiului. Heron a fost în stare să ne dăruiască o formulă cu ajutorul căreia putem găsi aria din simpla cunoaștere a laturilor. Cu toate că este ceva mai urâtă decât alte formule (căci conține un radical nesuferit), formula lui Heron ne permite să ne folosim numai de laturi pentru a găsi aria.

Așadar, aria triunghiului din figura de mai jos

este
$$A_{\color{red}{\Delta}}=\sqrt{p\cdot(p-\color{magenta}{a})\cdot(p-b)\cdot(p-\color{limegreen}{c})}.$$
Dar, stați așa! Am zis că ne folosim numai de laturi. Și atunci ce caută acel misterios $p$ în formula lui Heron? Ce este acest $p$? O fi el ceva ce depinde numai de laturi? Bineînțeles. El este semiperimetrul triunghiului, adică
$$p=\frac{a+b+c}{2}.$$
Perimetrul se scrie cu $P$ mare, iar semiperimetrul (fiind mai mic) se scrie cu literă mică.

Așadar, când cunoașteți laturile triunghiului, mai calculați doar semiperimetrul și obțineți o formulă de toată frumusețea.




Bun. Acum le-a venit vremea cercurilor să-și facă apariția. Mai exact, vom mai scrie două formule pentru aria triunghiului, una care se folosește de cercul mare (circumscris) și una care se folosește de cercul mic (înscris). Formula corespunzătoare cercului mare va conține $R$ (mare), deci raza cercului circumscris, iar formula corespunzătoare cercului mic va conține $r$ (mic), deci raza cercului înscris.


Cercul circumscris (mare) este cel din figura
iar formula ariei care conține raza acestui cerc este
$$A_{\color{blue}{\Delta}}=\frac{a\cdot b\cdot c}{4R}.$$
.



Pentru cercul înscris (cercul mic) avem o formulă mai simplă (cerc mic, formulă mică):
$$A_{\color{yellow}{\Delta}}=p\cdot r.$$
Aici $p$ este același semiperimetru cu care ne-am întâlnit la formula lui Heron, mai sus.


Cam astea sunt cele mai importante formule pentru aria triunghiului pe care le puteți întâlni la bac. După cum vedeți, nu vă puteți plânge că sunt chiar așa de multe...