Faceți căutări pe acest blog

sâmbătă, 8 noiembrie 2014

O integrală definită


Să se calculeze
$$\int_0^1\frac{e^x}{2e^x+3}dx.$$


Calculăm întâi integrala nedefinită, după care vom aplica teorema Leibniz-Newton pentru calculul integralei definite.

Deci, cât este
$$\int\frac{e^x}{2e^x+3}dx?$$

E o integrală dintr-o fracţie. Deci, primul lucru este să încercăm să o aducem la forma
$$\int\frac{u^\prime}{u}dx$$
despre care ştim că este $\ln|u|$.

Aşadar, încercăm să luăm $u=2e^x+3$. Atunci, $u^\prime=2e^x$. Drept urmare, integrala noastră nedefinită devine
$$\int\frac{e^x}{2e^x+3}dx=\frac{1}{2}\int\frac{2e^x}{2e^x+3}dx=\frac{1}{2}\int\frac{u^\prime}{u}=\frac{1}{2}\ln|u|.$$

Aşadar,
$$\int\frac{e^x}{2e^x+3}dx=\frac{1}{2}\ln|2e^x+3|.$$

Cum funcţia $e^x$ este mereu pozitivă, modulul nu mai are rost. Atunci, deja putem calcula integrala definită, înlocuind limitele de integrare:
$$\int_0^1\frac{e^x}{2e^x+3}dx=\left.\frac{1}{2}\ln(2e^x+3)\right\vert_{0}^{1}=\frac{1}{2}\ln(2e^1+3)-\frac{1}{2}\ln(2e^0+3).$$

În fine, ştiind că $\ln a-\ln b=\ln\frac{a}{b}$ şi cum $2e^0+3=5$ obţinem un rezultat mai frumos:
$$\int_0^1\frac{e^x}{2e^x+3}dx=\frac{1}{2}\ln\frac{2e+3}{5}.$$

Niciun comentariu:

Trimiteți un comentariu

Exprimați-vă părerea despre articol sau cereți lămuriri suplimentare, ca să transmitem cât mai multă informație celor care au nevoie de ea.

Comentariul va apărea după un anumit interval de timp necesar moderării.