Faceți căutări pe acest blog

miercuri, 5 noiembrie 2014

Coliniaritatea a trei puncte este echivalentă cu anularea unei arii


Dacă vi se dau coordonatele a trei puncte în plan $\color{red}{A(a; b)}$, $\color{blue}{B(c; d)}$ și $\color{green}{C(e; f)}$, puteți stabili dacă ele sunt sau nu sunt coliniare, adică dacă se află toate trei pe una și aceeași dreaptă.

Rețineți următorul determinant teribil format cu coordonatele celor trei puncte:
$$A=\frac{1}{2}\begin{vmatrix}
\color{red}{a}&\color{red}{b}&1\\
\color{blue}{c}&\color{blue}{d}&1\\
\color{green}{e}&\color{green}{f}&1
\end{vmatrix}.$$
Modulul acestui număr $A$ calculat mai sus este aria triunghiului $\color{red}{A}\color{blue}{B}\color{green}{C}$. Nu uitați: modulul! Căci determinantul vă poate da și un număr negativ, dar aria unui triunghi nu poate fi ceva negativ.



Acuma aveți o armă foarte puternică pentru a stabili dacă punctele $\color{red}{A(a; b)}$, $\color{blue}{B(c; d)}$ și $\color{green}{C(e; f)}$ sunt coliniare. Și cum anume? Păi, dacă aria triunghiului $\color{red}{A}\color{blue}{B}\color{green}{C}$ este nulă (ceea ce este echivalent cu anularea determinantului), atunci „triunghiul” respectiv este degenerat, în sensul că vârfurile sale se află pe o dreaptă comună.

Mai exact, ca să demonstrați că trei puncte $\color{red}{A(a; b)}$, $\color{blue}{B(c; d)}$ și $\color{green}{C(e; f)}$ sunt coliniare, este suficient să arătați că determinantul
$$\begin{vmatrix}
\color{red}{a}&\color{red}{b}&1\\
\color{blue}{c}&\color{blue}{d}&1\\
\color{green}{e}&\color{green}{f}&1
\end{vmatrix}$$
este nul.



O altă metodă mult mai laborioasă pentru a arăta că trei puncte sunt coliniare este să determinăm ecuația dreptei formată cu primele două puncte, apoi ecuația dreptei formată cu ultimele două puncte și arătat că cele două ecuații coincid. Dar, desigur, aceasta ar fi cea mai primitivă metodă și, pe lângă faptul că ar duce la pierdere masivă de timp la examen, ar mai denota și faptul că elevul nu cunoaște determinantul puternic de care vă vorbeam mai sus.