Faceți căutări pe acest blog

luni, 3 noiembrie 2014

Produsul scalar dintre doi vectori


Dacă la bac vi se cere produsul scalar dintre doi vectori $\vec u$ și $\vec v$ și vi se dau doar modulele $|\vec u|$ și $|\vec v|$ ale celor doi vectori și unghiul $\alpha$ dintre ei, atunci pentru a găsi produsul scalar al celor doi vectori vă folosiți de formula cu module și unghi:
$$\large{\color{red}{\vec u\cdot\vec v=|\vec u|\cdot|\vec v|\cdot\cos\alpha}}.$$

În schimb, dacă la bac vi se cere produsul scalar dintre doi vectori $\vec u$ și $\vec v$ și vi se dau coordonatele celor doi vectori, adică $\vec u=a\vec i+b\vec j$, respectiv, $\vec v=c\vec i+d\vec j$, atunci pentru a găsi produsul scalar al celor doi vectori vă folosiți de formula cu coordonate:
$$\large{\color{blue}{\vec u\cdot\vec v=ac+bd}}.$$

Observați un lucru important: în ambele cazuri, produsul scalar este un număr. Deci, cu toate că înmulțiți doi vectori, produsul lor este un număr, adică un scalar. Acest număr este produsul dintre două lungimi:

  1. lungimea proiecției unui vector pe celălalt (deci este „umbra” lăsată de primul vector pe celălalt atunci când lumina este perpendiculară pe al doilea vector); 
  2. și lungimea celuilalt vector. 
Și nu contează ordinea în care calculăm acest număr, rezultatul este independent de vectorul cu care începem.

 Există, desigur, și produsul vectorial dintre doi vectori, iar rezultatul acelui produs este un vector.

Marele avantaj al acestor formule este generalitatea lor. Ele sunt generale în sensul că nu depind de faptul că cei doi vectori se află în plan (deci sunt scriși cu două coordonate) sau se află în spațiu (deci sunt scriși cu trei coordonate).





Ca aplicație a acestor cunoștințe, vi se poate întâmpla la bac să vi se ceară unghiul dintre doi vectori dați prin coordonate. Cum faceți atunci? Desigur, ne folosim atunci de ambele formule pentru produsul scalar.

De exemplu, să presupunem că vectorii pe care trebuie să-i folosim sunt $\vec u=2i+3j$, respectiv, $\vec v=4i-5j$. Avem vectorii dați prin coordonate, deci putem calcula produsul lor scalar cu formula cu coordonate. Acesta va fi $\vec u\cdot\vec v=2\cdot 4+3\cdot(-5)=8-15=-7$. Deci, produsul scalar este $-7$.

Dar tot $-7$ trebuie să ne dea și dacă ne folosim de prima formulă, cea cu modulele și unghiul. Așadar, trebuie să avem și $|\vec u|\cdot|\vec v|\cos\alpha=-7$.

Acum ne mai rămâne să calculăm modulele vectorilor. Modulul unui vector dat prin coordonate este radicalul sumei pătratelor coordonatelor. Deci $|\vec u|=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$, respectiv, $|\vec v|=\sqrt{4^2+(-5)^2}=\sqrt{16+25}=\sqrt{41}$.

Așadar, avem de fapt că
$$\sqrt{13}\cdot\sqrt{41}\cdot\cos\alpha=-7.$$

Iar de aici scoatem cosinulul unghiului și avem
$$\cos\alpha=\frac{-7}{\sqrt{13}\cdot\sqrt{41}}.$$
Desigur, puteam alege alte coordonate pentru cei doi vectori ca să ne dea niște numere frumoase sub radical (pătrate perfecte), care să se poată calcula. Dar eu am preferat să folosesc niște numere cât mai haotice ca să vedeți esențialul.

În general, dacă ne folosim de litere, formula care ne dă cosinusul unghiului dintre doi vectori dați prin coordonate în modul general $\vec u=a\vec i+b\vec j$, respectiv, $\vec v=c\vec i+d\vec j$ este, așadar:
$$\large{\color{magenta}{\cos\alpha=\frac{ac+bd}{\sqrt{a^2+b^2}\cdot\sqrt{c^2+d^2}}}}.$$

Observați că această formulă ne dă posibilitatea să stabilim ușor când doi vectori dați prin coordonate sunt perpendiculari. Ei sunt perpendiculari atunci când acest cosinus dat de formulă este nul, deci când numărătorul fracției anterioare este nul, deci când avem $ac+bd=0$ sau altfel $ac=-bd$.

Aveți aici, așadar, o mulțime de bunătăți pe care le puteți folosi la bac atunci când dați de greu.