O inecuație de gradul al doilea

Să se rezolve inecuația de gradul al doilea
$$x^2-3x+2\le 0.$$

Inecuațiile de gradul al doilea sunt printre cele mai importante inecuații pe care le învățați la liceu și există foarte multe inecuații de altă formă care se pot reduce la inecuații de gradul al doilea. Așa că este necesar să cunoașteți bine acest tip de ecuație. Exemplul nostru ne va fi de folos în această privință. De aceea, să rezolvăm cu atenție inecuația dată.

Ca să rezolvăm o inecuație de gradul al doilea, avem nevoie de rădăcinile polinomului care apare în inecuație. În cazul nostru ne-ar trebui deci rădăcinile polinomului $x^2-3x+2$. Aceste rădăcini pot fi găsite direct, folosind relațiile lui Viète (conform cărora se observă că acestea sunt $x_1=1$ și $x_2=2$) sau indirect, cu $\Delta$ și restul formulelor aferente ecuației de gradul al doilea.

Ok, presupunând că ați găsit rădăcinile polinomului de gradul al doilea, acum trebuie să facem pasul hotărâtor pentru rezolvarea inecuației. Căci aflarea rădăcinilor nu este suficientă pentru rezolvarea inecuației, ci doar pentru rezolvarea ecuației. Doar ecuația are două soluții; în schimb, inecuația are o infinitate de soluții, reprezentate de un interval închis au deschis.

Acest interval se găsește folosind o regulă suplimentară, valabilă pentru inecuațiile de gradul al doilea: între rădăcini semn contrar lui $a$ (SCa), unde $a$ este coeficientul lui $x^2$ care apare în inecuație (în cazul nostru $a=+1$).

Regula de mai sus ne spune că soluțiile căutate pentru inecuația de gradul al doilea sunt date ori de intervalul aflat între rădăcinile polinomului ei, ori de reuniunea celor două intervale aflate în afara acestui interval.

Care dintre cele două situații sunt alese ne spune tabelul următor:
$$\begin{array}{r|lrclr} x&-\infty&1&\text{ }&2&+\infty\\ \hline x^2-3x+2&+\infty+++++&0&---=SCa=---&0&+++++\infty \end{array}$$

Așadar, polinomul $x^2-3x+2$ este mai mic sau egal cu zero doar între rădăcini, așadar, infinitatea de soluții căutate este dată de intervalul închis
$$\color{red}{S=[1;\,2]}.$$
Intervalul este închis deoarece, pe lângă semnul „$<$”, inecuația $x^2-3x+2\le 0$ conține și semnul de „$=$”, ambele aceste semne fiind puse împreună în semnul „$\le$”.