Limita șirului nostalgic

Vorbeam data trecută despre șirul care îmi aduce aminte de liceu, dat prin relația de recurență:
$$x_{n+1}=\frac{1}{2}\left(x_n+\frac{a}{x_n}\right).$$

Pe saitul pro-didactica.ro puteți găsi o demonstrație frumoasă a convergenței acestui șir, pornind de la reprezentarea explicită a șirului, fără recurență.



Aici mai doresc să vă reamintesc că de la domnul Karl Weierstrass știm că pentru a demonstra că un șir este convergent este bine (este suficient) să arătăm două lucruri mai ușoare:

-1). că șirul este monoton (mereu crescător sau mereu descrescător);

-2). că șirul este mărginit, adică limitat superior (dacă e crescător) sau limitat inferior (dacă e descrescător).

După cum vedeți, o problemă mare și grea se împarte, de regulă, în (două) probleme mai mici și mai ușoare. Astfel, dacă am munci să arătăm că șirul nostru este monoton (descrescător) și mărginit (inferior), atunci am putea trage concluzia că el este convergent.

Iar dacă am demonstrat că un șir anume este convergent, atunci suntem boieri, căci avem mari șanse să-i găsim limita chiar și din relația de recurență. De exemplu, în cazul șirului nostru, dacă suntem siguri că el este convergent, atunci ne putem folosi de relația de recurență pentru a-i găsi limita.

Fie $l$ limita șirului nostru convergent. Dacă $l$ este numărul spre care tinde șirul, atunci putem pune acest $l$ în locul oricărui termen din relația de recurență, deci și în locul lui $x_n$, dar și în locul lui $x_{n+1}$. Așadar, putem scrie
$$l=\frac{1}{2}\left(l+\frac{a}{l}\right).$$

Atenție, deci! Avem dreptul să scriem o asemenea relație doar după ce am demonstrat deja că șirul este convergent.

Din această relație, putem să găsim cât este $l$. Înmulțind egalitatea cu 2 obținem
$$2l=l+\frac{a}{l}.$$
Apoi, ducându-l pe $l$ în stânga, mai obținem
$$2l-l=\frac{a}{l},$$
deci
$$l=\frac{a}{l}.$$
Apoi, putem înmulți această ecuație cu $l$ și obținem $l^2=a$, de unde concluzia minunată că $\large{\color{red}{l=\sqrt a}}$.