O mare șmecherie pentru limite

În perioada aceasta mulți elevi de clasa a XI-a învață despre limite. Așa că m-am gândit că ar fi binevenit acest articol acum.

Există o serie de limite fundamentale pe care trebuie să le cunoască un elev de clasa a XI-a. Ele sunt fundamentale, deoarece o mulțime de alte limite pot fi calculate dacă porniți de la limitele fundamentale.


Iată un tabel cu câteva dintre aceste limite fundamentale:

$$\begin{array}{| c | c |}

\hline
\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1&\lim_{x\to 0}\frac{\arcsin x}{x}=1\\\hline
\lim_{x\to 0}\frac{\tan x}{x}=1&\lim_{x\to 0}\frac{\arctan x}{x}=1\\\hline
\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1&\lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}=1\\\hline

\end{array}.$$

Observați că toate aceste limite tind la 0, au numitorul $x$ și au ca rezultat 1. Deci, am putea scrie toate aceste limite drept una singură, căci doar numărătorul lor diferă

$$\lim_{\color{red}{x\to 0}}\frac{\color{blue}{\sin x}\text{ sau }\color{blue}{\arcsin x}\text{ sau }\color{blue}{\tan x}\text{ sau }\color{blue}{\arctan x}\text{ sau }\color{blue}{\ln(1+x)}\text{ sau }\color{blue}{e^x-1}}{\color{green}{x}}=\color{magenta}{1}.$$

Altfel spus, la limită spre zero, toate funcțiile albastre de la numărător devin egale între ele și egale cu numitorul, adică cu $x$. Asta înseamnă că tot același rezultat vom obține și dacă vom face limita raportului dintre două asemenea funcții albastre. Adică,

$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{\arcsin x}=1$$

sau 

$$\lim_{x\to 0}\frac{\tan x}{e^x-1}=1.$$

Desigur, nimeni n-o să vă ceară să calculați limite atât de simple pe care le puteți regăsi în tabele, ci o să vă ceară limite puțin mai complicate, pe care să le puteți calcula folosindu-vă de aceste limite. 

De exemplu, poate vi se va cere să calculați limita

$$\lim_{x\to 0}\frac{\tan x}{2x}.$$

Credeți că va fi foarte complicată această limită, dacă ea nu se află în tabel? Nici vorbă. N-avem decât să păcălim limita, „mințind” că numitorul ei este, de fapt, cel din tabel, după care să ne cerem iertare pentru minciuna făcută și să-l punem frumos înapoi la numărătorul unei fracții următoare ca să se simplifice. Adică, vom face

$$\lim_{x\to 0}\frac{\tan x}{2x}=\lim_{x\to 0}\frac{\tan x}{x}\cdot\frac{x}{2x}.$$

Acum știm că în loc de prima fracție putem pune 1 și ne rămâne să calculăm limita

$$\lim_{x\to 0}\frac{x}{2x}.$$

Dar această ultimă limită este simplă, căci simplificăm $x$-ul și rămâne $\frac{1}{2}$. Așadar, limita dată devine

$$\lim_{x\to 0}\frac{\tan x}{2x}=\color{red}{\lim_{x\to 0}\frac{\tan x}{x}}\cdot\frac{x}{2x}=\color{red}{1}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{2}.$$

În limita precedentă am diversificat numitorul, înlocuindu-l pe $x$ din tabel cu $2x$. Să vedem acum în ce mod putem calcula o limită căreia i-am diversificat numărătorul. Să zicem că ni se dă să calculăm limita

$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin(7x)}{x}.$$

Mințim și de data asta, deși minciuna este detestabilă :) . Mințim că și la numitor avem $7x$. Așadar

$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin(7x)}{x}=\color{red}{\lim_{x\to 0}\frac{\sin(7x)}{7x}}\cdot\frac{7x}{x}=\color{red}{1}\cdot 7=7.$$

Desigur, am putea să mai inventăm niște limite și mai ciudate, care pot fi însă calculate cu tabelul de mai sus. De exemplu, am putea primi o limită de genul

$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin(x^2+x)}{3x},$$

limită la care este denaturat față de tabel atât numărătorul, cât și numitorul. Cu toate acestea, o minciunică ne salvează și de data asta. Facem

$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin(x^2+x)}{3x}=\color{red}{\lim_{x\to 0}\frac{\sin(x^2+x)}{x^2+x}}\cdot\frac{x^2+x}{3x}=\color{red}{1}\cdot\lim_{x\to 0}\frac{x^2+x}{3x}.$$

Ultima limită presupunem că știți să o calculați și nu insistăm acum asupra ei. Deși aveți dreptul să nu știți s-o calculați. Doar că eu vreau să scot acum în evidență următoarea mare șmecherie: dacă aveți de calculat o limită de forma

$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin(ceva)}{altceva},$$

atunci dispare sinusul!

Dar, mare atenție: acest lucru este valabil dacă $ceva$ și $altceva$ sunt egale cu 0 atunci când $x$ este egalat cu 0.

Și, desigur, această mare șmecherie este valabilă pentru toate  limitele din tabel, nu doar pentru limita cu sinus, adică dispar toate celelalte lucruri inutile și rămâne doar fracția dintre $ceva$ și $altceva$. Așadar, atunci când nu doar $x\to 0$, ci și $ceva\to 0$ și $altceva\to 0$, atunci avem de exemplu,

$$\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+ceva)}{altceva}=\lim_{x\to 0}\frac{ceva}{altceva}.$$

Generalizare

Suntem acum în măsură să scriem mai elegant și mai general tabelul de mai sus. Tabel valabil dacă avem îndeplinită condiția de bază: 

$$\color{red}{\lim_{x\to l}f(x)=\lim_{x\to l}g(x)}=\large{\color{blue}{0}}.$$

Observați că $x$ nu trebuie să tindă neapărat la 0, ci tinde la un număr oarecare $l$, însă $f$ și $g$ trebuie să tindă la 0 atunci când $x$ tinde la acel număr $l$. 

În aceste condiții avem valabil tabelul

$$\begin{array}{| c | c |}

\hline
\lim_{\color{red}{x\to l}}\frac{\sin\color{blue}{f(x)}}{\color{green}{g(x)}}&\lim_{\color{red}{x\to l}}\frac{\arcsin\color{blue}{f(x)}}{\color{green}{g(x)}}\\\hline
\lim_{\color{red}{x\to l}}\frac{\tan\color{blue}{f(x)}}{\color{green}{g(x)}}&\lim_{\color{red}{x\to l}}\frac{\arctan\color{blue}{f(x)}}{\color{green}{g(x)}}\\\hline
\lim_{\color{red}{x\to l}}\frac{\ln[1+\color{blue}{f(x)}]}{\color{green}{g(x)}}&\lim_{\color{red}{x\to l}}\frac{e^{\color{blue}{f(x)}}-1}{\color{green}{g(x)}}\\\hline

\end{array}=\lim_{\color{red}{x\to l}}\frac{\color{blue}{f(x)}}{\color{green}{g(x)}}.$$

Acest tabel este cel mai important lucru pe care vi l-am spus în acest articol. El vă spune că dacă întâlniți limite de această formă (și numai atunci!), puteți arunca la gunoi termenii care vă încurcă și lăsați doar fracția dintre $f$ și $g$.

Dar mai vreau să vă povestesc puțin înainte de final despre încă două limite importante, valabile tot în condiția în care $f$ și $g$ tind ambele la 0, doar că pe acestea nu le puteam încadra alături de celelalte limite deoarece rezultatul lor este puțin diferit, chiar dacă au același numitor ca și celelalte.

Pornim de la limitele următoare

$$\lim_{x\to 0}\frac{(1+x)^8-1}{x}=8,$$

$$\lim_{x\to 0}\frac{8^x-1}{x}=\ln 8$$

în care puteți înțelege că în loc de 8 puteți pune ce număr vreți voi.

Ei bine, aceste limite pot fi și ele generalizate, scriind

$$\lim_{\color{red}{x\to l}}\frac{[1+\color{blue}{f(x)}]^a-1}{\color{green}{g(x)}}=a\cdot\lim_{\color{red}{x\to l}}\frac{\color{blue}{f(x)}}{\color{green}{g(x)}},$$

$$\lim_{\color{red}{x\to l}}\frac{a^{\color{blue}{f(x)}}-1}{\color{green}{g(x)}}=\ln a\cdot\lim_{\color{red}{x\to l}}\frac{\color{blue}{f(x)}}{\color{green}{g(x)}}.$$

Sper că am oferit acum elevilor de clasa a XI-a un instrument util cu care să poată calcula limitele cu care se confruntă.