Faceți căutări pe acest blog

duminică, 2 noiembrie 2014

Panta unei drepte, un număr important


Panta unei drepte din plan este tangenta unghiului pe care îl face acea dreaptă cu axa OX.

Tangenta unghiului $t$ este $\tan t=\frac{a}{b}$. 

Dacă dreapta este paralelă cu axa OX, unghiul $t$ este nul, deci este nulă și tangenta, deci este nulă și panta. Dacă dreapta urcă, așa cum se vede în figură, atunci panta este pozitivă, iar dacă dreapta coboară, atunci panta este negativă.

De asemenea, putem să ne folosim de pante pentru a putea găsi unghiul dintre două drepte atunci când cunoaștem pantele celor două drepte. Mai exact, dacă prima dreaptă are panta $m_1=\tan t_1,$ iar a doua dreaptă are panta $m_2=\tan t_2,$ atunci unghiul $t$ dintre cele două drepte va fi dată de diferența (pozitivă a) celor două unghiuri $t=t_2-t_1$. 

Iar tangenta acestui unghi va fi
$$\tan t=\tan(t_2-t_1)=\frac{\tan t_2-\tan t_1}{1+\tan t_1\cdot\tan t_2}=\color{red}{\frac{m_2-m_1}{1+m_1 m_2}}$$
luând valoarea pozitivă a acestei fracții.

Să interpretăm acest rezultat pentru două cazuri particulare importante:
-1). $m_2-m_1=0$. În acest caz, numărătorul fracției anterioare este nul, deci tangenta $\tan(t_2-t_1)$ este nulă, ceea ce este evident, căci cele două unghiuri sunt egale. În acest caz, cele două drepte sunt paralele.

-2).$1+m_1m_2=0$. În acest caz, mult mai ciudat, numitorul fracției este nul, iar tangenta $\tan(t_2-t_1)$ devine astfel infinită (în modul). Acest lucru este posibil numai pentru unghiuri de 90 de grade. Deci cele două drepte sunt perpendiculare.


Așadar, rețineți ceea ce e mai greu de reținut, ceea ce este mai ciudat: două drepte sunt perpendiculare dacă pantele lor satisfac relația ciudată $\color{magenta}{1+m_1m_2=0}$.

Treaba cu paralelismul e prea ușor de reținut ca să vă mai strofocați: două drepte sunt paralele dacă pantele lor sunt egale.

Așadar, ce veți face la bac dacă vi se va cere să arătați că două drepte sunt perpendiculare? Desigur, veți arăta că produsul pantelor lor este $-1$ (căci numai așa se anulează numitorul acelei fracții).