Faceți căutări pe acest blog

marți, 4 noiembrie 2014

Distanța dintre două puncte în plan


Un punct în plan este echivalent cu o pereche de numere. Cele două numere asociate unui punct din plan ne arată cât de departe se află punctul dat de „centrul” planului. Desigur, pentru aceasta trebuie să fixăm întâi un „centru” al planului, adică un punct căruia o să-i asociem numerele 0 și 0. Acestui punct i se mai spune „origine” a planului și îl notăm cu O.

Dacă am făcut efortul să  fixăm o origine a planului, precum și unitățile de măsură pe care le vom folosi pentru a măsura distanțele pe orizontală și pe verticală (să zicem, pătrățele), atunci se spune că am fixat un sistem de coordonate în planul respectiv.

Pentru a spune că punctul A este la o distanță de 3 pătrățele pe orizontală și la 6 pătrățele pe verticală de originea planului ne folosim de semnul A(3; 6), semn căruia îi spunem „punctul A de coordonate 3 și 6”.

Observați că este importantă ordinea în care scriem aceste coordonate, căci dacă mergem 6 pătrățele pe orizontală și apoi 3 pătrățele pe verticală nu ajungem în punctul A(3; 6), ci ajungem în punctul B(6; 3), punct care este diferit de punctul A.

Desigur, nu contează că mergem întâi pe orizontală 3 pătrățele, după care mergem pe verticală 6 pătrățele sau mergem întâi pe verticală 6 pătrățele și abia apoi o luăm pe orizontală 3 pătrățele. Punctul în care ajungem este același în ambele cazuri.
Dar simpla scriere A(3; 6) nu ne spune efectiv la ce distanță se află punctul A de originea planului dacă am merge direct de la O la A, ci ne spune doar cât ar trebui să mergem dacă am lua-o pe ocolite pe orizontală și pe verticală (3+6=9 pătrățele). Dar drumul direct este mai scurt și vrem să-l găsim.

Pentru  găsi drumul direct, ne ajută Pitagora. El ne-a învățat că ipotenuza unui triunghi dreptunghic este mai scurtă decât suma catetelor și ne-a spus și cu cât. Mai exact, teorema lui Pitagora ne spune că pătratul ipotenuzei este suma pătratelor catetelor. Și cum nouă nu ne trebuie pătratul ipotenuzei, ci tocmai ipotenuza însăși, vom avea că ipotenuza este radicalul sumei pătratelor catetelor.

Atunci, dacă vi se dă un punct $A(a; b)$, drumul de la O la acest punct (deci, distanța de la O la A) va fi dată de formula simplă
$$\color{blue}{d(O; A)=\sqrt{a^2+b^2}}.$$



Iată că aveți acum distanța de la origine la un punct. Dar noi vrem mai mult. Noi vrem să știm cât este distanța dintre oricare două puncte ale planului, nu neapărat tocmai de la origine.

Să zicem că vrem să știm cât este distanța de la un punct $A(a; b)$ la un punct $B(c; d)$. Deci, ne interesează o altă ipotenuză, de data aceasta. Una formată cu un triunghi care nu are treabă cu originea. Este vorba despre triunghiul dreptunghic format cu catetele verde și albastră din figura de mai jos:

Din teorema lui Pitagora pentru acest triunghi colorat, ipotenuza este distanța de la punctul $A(a; b)$ la punctul $B(c; d)$ și este dată de formula
$$\large{\color{red}{d(A; B)=\sqrt{(c-a)^2+(d-b)^2}}}.$$

Observați că în această formulă nu contează cu care punct începem, căci $(c-a)^2=(a-c)^2$ și, respectiv, $(d-b)^2=(b-d)^2$. E și normal, nu? Distanța de la A la B trebuie să fie aceeași cu distanța de la B la A.

Ei, v-a plăcut?