Faceți căutări pe acest blog

sâmbătă, 1 noiembrie 2014

O integrală primită la examen


Când am dat examen de admitere la Facultatea de Matematică din București, după ce am pășit sfios pe coridoarele-acelea sfinte ale Facultății încărcate de istorie, una dintre problemele pe care le-am primit și de care îmi amintesc cu mare drag, pentru că ne-am îndrăgostit reciproc, mai mult eu de ea, a fost următoarea:

Să se calculeze integrala
$$\int\frac{\sin x+\cos x}{\sin x-\cos x}dx.$$

Desigur nu mi-a picat fisa din prima, pentru că nu credeam să fie chiar atât de simplă, iar eu mă gândeam la tot soiul de artificii pe care ar trebui să le aplic pentru funcțiile trigonometrice. Din fericire, tatonărille mele n-au durat foarte mult, pentru că la o reevaluare a problemei mi-am dat seama că numărătorul nu este altceva decât tocmai numitorul derivat.

Altfel spus, avem
$$(\sin x-\cos x)^\prime=(\sin x)^\prime-(\cos x)^\prime=\cos x-(-\sin x)=\cos x+\sin x.$$

Așadar, notând $u=\sin x-\cos x$, avem că integrala de calculat devine
$$\int\frac{\sin x+\cos x}{\sin x-\cos x}dx=\int\frac{u^\prime}{u}dx.$$

Și cum, în conformitate cu ceea ce vă povesteam ieri despre schimbarea de variabilă, avem că $u^\prime dx=du$, iar integrala noastră devine acum
$$\int\frac{\sin x+\cos x}{\sin x-\cos x}dx=\int\frac{u^\prime}{u}dx=\int\frac{1}{u}du.$$

Dar această integrală, așa cum rezultă din tabele dacă folosim litera $u$ în loc de $x$, este tocmai $\ln|u|$. În concluzie, integrala de calculat devenea logaritmul numitorului, adică
$$\int\frac{\sin x+\cos x}{\sin x-\cos x}dx=\int\frac{1}{u}du=\ln|u|+C=\ln|\sin x-\cos x|+C.$$

Să vă fie deci clar: dacă vreodată veți avea de calculat vreo integrală dintr-o fracție faină în care numărătorul este tocmai numitorul derivat, să știți automat că rezultatul este logaritmul numitorului.