Faceți căutări pe acest blog

marți, 11 noiembrie 2014

Un șir ce-mi trezește nostalgii


Pe vremea când eram eu de vârsta voastră, dragi elevi, abia apăreau calculatoarele de buzunar și ceasurile electronice, niște minuni care pe mine m-au fascinat așa precum vă fascinează azi pe voi telefoanele-astea mobile super-inteligente.

Și nu știu cum se făcu' odată că am aflat atunci de un șir buclucaș pe care l-am sucit și răsucit în toate părțile cu un asemenea calculator de buzunar de care vă povestesc.

Șirul în sine dacă-l vedeți n-o să vă spună mare lucru, dar după ce ne jucăm puțin cu el veți vedea altfel lucrurile.

Iată șirul:
$$x_{n+1}=\frac{1}{2}\left(x_n+\frac{a}{x_n}\right).$$

Această relație ne spune că dacă vrem să găsim termenul următor al șirului, să împărțim întâi numărul constant $a$ la termenul curent al șirului, apoi să adunăm rezultatul cu termenul curent, după care ceea ce obținem să împărțim la doi.

Nu e mare lucru. E doar o relație de recurență între doi termeni consecutivi ai șirului.

Zis și făcut. Mi-am luat calculatorul de buzunar și am procedat după cum urmează:
-1). Am ales întâi cine să fie $a$, să zicem $5$;
-2). Am început cu un număr oarecare, să zicem $1$, pe care l-am considerat a fi tocmai primul termen al șirului;
-3). Am memorat acest prim termen $1$ în memoria calculatorului (aveai acolo o opțiune pentru asta);
-4). Am împărțit numărul ales $a=5$ la memoria calculatorului (care a fost la început, după cum vă spuneam, $x_1=1$), am adunat rezultatul cu memoria calculatorului, apoi am împărțit rezultatul la 2 și am înlocuit ceea ce era în memorie cu ultimul rezultat;
-5). Am repetat pasul 4 de cât mai multe ori până când nu se mai schimba nimic pe ecran datorită preciziei mici a calculatorului.

Ce credeți că obțineam? Unii dintre voi poate își amintesc, alții doar bănuiesc, alții în schimb se vor minuna: obțineam o valoare foarte bună pentru radical din $a=5$!



Haideți să vedem cum se petrec lucrurile concret. Punem în memoria calculatorului M=1. Facem apoi (5:M+M):2 și obținem rezultatul 3. Acum schimbăm conținutul memoriei și punem în loc de conținutul vechi M=1 conținutul M=3.

Facem din nou (5:M+M):2, de data aceasta obținem 2,33333333. Acum îl facem pe M să fie 2,33333333 și obținem 2,238095238.

Apoi, repetând pașii indicați, obținem o listă precum cea de mai jos:

aM(a:M+M):2
513
32,333333333
radical din a2,3333333332,238095238
2,2360679772,2380952382,236068896
2,2360688962,236067977
2,2360679772,236067977
2,2360679772,236067977
2,2360679772,236067977
2,2360679772,236067977


Pentru $a=2$ obținem lista
aM(a:M+M):2
211,5
1,51,416666667
radical din a1,4166666671,414215686
1,4142135621,4142156861,414213562
1,4142135621,414213562
1,4142135621,414213562
1,4142135621,414213562
1,4142135621,414213562
1,4142135621,414213562


Sau pentru $a=7$ obținem lista
aM(a:M+M):2
714
42,875
radical din a2,8752,654891304
2,6457513112,6548913042,645767044
2,6457670442,645751311
2,6457513112,645751311
2,6457513112,645751311
2,6457513112,645751311
2,6457513112,645751311


Sau, mai interesant, pentru $a=9$
aM(a:M+M):2
915
53,4
radical din a3,43,023529412
33,0235294123,000091554
3,0000915543,000000001
3,0000000013
33
33
33

Faceți-vă și voi o asemenea listă în GoogleDocs și jucați-vă cu ea.

Observați ce repede converge șirul! Sunt suficienți doar câțiva pași și obținem radicalul căutat, fără să ne mai chinuim cu calculul mai amănunțit.

Mda, cam cu de-astea îmi băteam eu capul când eram adolescent. Așa ți-e cu pasionații ăștia bolunzi...