Faceți căutări pe acest blog

marți, 26 iulie 2016

Mate-info 2016, subiectul II, problema 1b

Se consideră matricea $A(x) =\left(\begin{array}{ll} 1&x&0\\ 0&1&0\\ 0&0&2^x\\ \end{array} \right)$, unde $x$ este un număr real.

Determinați numerele reale $x$, știind că $A(x)\cdot A(2x)=A(x^2+2)$.



Când trebuie să găsim necunoscute înseamnă că trebuie să ajungem cumva la o ecuație (de gradul întâi sau al doilea) care conține acele necunoscute. Altfel spus, noi vrem să scăpăm de litera $A$. Mai neriguros spus, vrem să "simplificăm" cu litera $A$.


Pentru a scăpa de litera $A$ va trebui să facem înmulțirea din partea stângă a egalității. Avem de făcut înmulțirea:$$A(x)\cdot A(2x)=\left(\begin{array}{ll} 1&x&0\\ 0&1&0\\ 0&0&2^x\\ \end{array} \right)\cdot \left(\begin{array}{ll} 1&2x&0\\ 0&1&0\\ 0&0&2^{2x}\\ \end{array} \right). $$




Înmulțind liniile de la prima matrice cu coloanele de la cea de-a doua matrice, așa cum trebuie să facem când înmulțim două matrice, obţinem:$$A(x)\cdot A(2x)=\left(\begin{array}{ll} 1+0+0&2x+x+0&0+0+0\\ 0+0+0&0+1+0&0+0+0\\ 0+0+0&0+0+0&0+0+2^x\cdot 2^{2x}\\ \end{array} \right). $$

Așadar, $$A(x)\cdot A(2x)=\left(\begin{array}{ll} 1&3x&0\\ 0&1&0\\ 0&0&2^x\cdot 2^{2x}\\ \end{array} \right). $$

Dar $2^x\cdot 2^{2x}$ este tocmai $2^{x+2x}=2^{3x}$, deoarece, la înmulțirea puterilor, exponenții se adună.

Putem scrie deci că: $$A(x)\cdot A(2x)=\left(\begin{array}{ll} 1&3x&0\\ 0&1&0\\ 0&0&2^{3x}\\ \end{array} \right). $$

Am ajuns acum în momentul în care elevul trebuie să facă un pas important de abstractizare. El trebuie să observe acum că matricea $$\left(\begin{array}{ll} 1&3x&0\\ 0&1&0\\ 0&0&2^{3x}\\ \end{array} \right)$$ este tocmai matricea $A(3x)$.

Asta înseamnă că putem scrie $$A(x)\cdot A(2x)=A(3x).$$

Cu această cucerire importantă, ecuația matriceală inițială devine acum $$A(3x)=A(x^2+2). $$ Acum putem "simplifica" cu $A$, așa cum ziceam mai sus, iar ecuația matriceală devine o ecuație de gradul doi:$$3x=x^2+2.$$ Această ecuație ne va da numerele reale cerute în enunțul problemei.

Mai putem scrie atunci că $$x^2 +2=3x.$$ Ducând termenul $3x$ în partea stângă a egalității, obținem una dintre cele mai cunoscute ecuații de gradul doi: $$x^2 - 3x+2=0.$$
Această ecuație poate fi rezolvată ușor cu delta sau cu Viète (adică, ghicind două numere care înmulțite să dea 2, iar adunate să dea 3). Bineînțeles, aceste două numere sunt $$\color{red}{1} \text{ și }\color{red} {2 }.$$ 

Niciun comentariu:

Trimiteți un comentariu

Exprimați-vă părerea despre articol sau cereți lămuriri suplimentare, ca să transmitem cât mai multă informație celor care au nevoie de ea.

Comentariul va apărea după un anumit interval de timp necesar moderării.