Faceți căutări pe acest blog

marți, 26 iulie 2016

Mate-info 2016, subiectul II, problema 1b

Se consideră matricea $A(x) =\left(\begin{array}{ll} 1&x&0\\ 0&1&0\\ 0&0&2^x\\ \end{array} \right)$, unde $x$ este un număr real.

Determinați numerele reale $x$, știind că $A(x)\cdot A(2x)=A(x^2+2)$.



Când trebuie să găsim necunoscute înseamnă că trebuie să ajungem cumva la o ecuație (de gradul întâi sau al doilea) care conține acele necunoscute. Altfel spus, noi vrem să scăpăm de litera $A$. Mai neriguros spus, vrem să "simplificăm" cu litera $A$.


Pentru a scăpa de litera $A$ va trebui să facem înmulțirea din partea stângă a egalității. Avem de făcut înmulțirea:$$A(x)\cdot A(2x)=\left(\begin{array}{ll} 1&x&0\\ 0&1&0\\ 0&0&2^x\\ \end{array} \right)\cdot \left(\begin{array}{ll} 1&2x&0\\ 0&1&0\\ 0&0&2^{2x}\\ \end{array} \right). $$




Înmulțind liniile de la prima matrice cu coloanele de la cea de-a doua matrice, așa cum trebuie să facem când înmulțim două matrice, obţinem:$$A(x)\cdot A(2x)=\left(\begin{array}{ll} 1+0+0&2x+x+0&0+0+0\\ 0+0+0&0+1+0&0+0+0\\ 0+0+0&0+0+0&0+0+2^x\cdot 2^{2x}\\ \end{array} \right). $$

Așadar, $$A(x)\cdot A(2x)=\left(\begin{array}{ll} 1&3x&0\\ 0&1&0\\ 0&0&2^x\cdot 2^{2x}\\ \end{array} \right). $$

Dar $2^x\cdot 2^{2x}$ este tocmai $2^{x+2x}=2^{3x}$, deoarece, la înmulțirea puterilor, exponenții se adună.

Putem scrie deci că: $$A(x)\cdot A(2x)=\left(\begin{array}{ll} 1&3x&0\\ 0&1&0\\ 0&0&2^{3x}\\ \end{array} \right). $$

Am ajuns acum în momentul în care elevul trebuie să facă un pas important de abstractizare. El trebuie să observe acum că matricea $$\left(\begin{array}{ll} 1&3x&0\\ 0&1&0\\ 0&0&2^{3x}\\ \end{array} \right)$$ este tocmai matricea $A(3x)$.

Asta înseamnă că putem scrie $$A(x)\cdot A(2x)=A(3x).$$

Cu această cucerire importantă, ecuația matriceală inițială devine acum $$A(3x)=A(x^2+2). $$ Acum putem "simplifica" cu $A$, așa cum ziceam mai sus, iar ecuația matriceală devine o ecuație de gradul doi:$$3x=x^2+2.$$ Această ecuație ne va da numerele reale cerute în enunțul problemei.

Mai putem scrie atunci că $$x^2 +2=3x.$$ Ducând termenul $3x$ în partea stângă a egalității, obținem una dintre cele mai cunoscute ecuații de gradul doi: $$x^2 - 3x+2=0.$$
Această ecuație poate fi rezolvată ușor cu delta sau cu Viète (adică, ghicind două numere care înmulțite să dea 2, iar adunate să dea 3). Bineînțeles, aceste două numere sunt $$\color{red}{1} \text{ și }\color{red} {2 }.$$