Faceți căutări pe acest blog

miercuri, 27 iulie 2016

Mate-info 2016, subiectul II, problema 1c


Se consideră matricea $A(x) =\left(\begin{array}{ll} 1&x&0\\ 0&1&0\\ 0&0&2^x\\ \end{array} \right)$, unde $x$ este un număr real.

Știind că $A(n)=A(1)\cdot A (2)\cdot A (3)\cdot\dots\cdot A (2016) $, demonstrați că $n$ este număr natural divizibil cu $2017$.



Elevul concentrat și eliberat deja de emoția începutului de examen, se va gândi că ar trebui să fie o legătură între numărul $2016$ și $2017$. Apoi, gândind că aceste numere sunt alese la întâmplare, în funcție de anul curent, va conștientiza că trebuie să caute o metodă generală pentru a găsi soluția, o metodă independentă de aceste numere.



În aceste condiţii ce ar trebui făcut? Gândind la subpunctul precedent, elevul va constata că înmulțirea a două matrice de tipul dat poate aduce surprize plăcute, așa că se va pregăti sufletește să facă înmulțirea necesară, fiind convins că nu va fi o pierdere de timp. Timpul e foarte prețios și trebuie gestionat cu grijă; nu vă angajați în calcule cu nesăbuință. Aveți cam zece minute pentru un subpunct.

Haideți, deci, să vedem ce iese atunci când facem înmulțirea a două matrice generice de acest tip. Avem așa $$A(x) \cdot A (y)=\left(\begin{array}{ll} 1&x&0\\ 0&1&0\\ 0&0&2^x\\ \end{array} \right)\cdot \left(\begin{array}{ll} 1&y&0\\ 0&1&0\\ 0&0&2^y\\ \end{array} \right) .$$

Făcând înmulțirea, obținem $$A(x) \cdot A (y)=\left(\begin{array}{ll} 1+0+0&y+x+0&0+0+0\\ 0+0+0&0+1+0&0+0+0\\ 0+0+0&0+0+0&0+0+2^x\cdot 2^y\\ \end{array} \right) .$$

Și cum $2^x\cdot 2 ^y=2^{x+y}$, obținem $$A(x) \cdot A (y)=\left(\begin{array}{ll} 1&y+x&0\\ 0&1&0\\ 0&0&2^{x+y}\\ \end{array} \right), $$ rezultat care ne spune de fapt ceva remarcabil și anume că $$A(x) \cdot A (y) =A(x+y). $$

Aici este esența rezolvării, în faptul că $A(x) \cdot A (y) =A(x+y) $. Această minunăție de concluzie ne spune că $$A(1)\cdot A (2)\cdot A (3)\cdot\dots\cdot A (2016)=A(1+2+3+\dots+2016) .$$

Mai rămâne puțin de făcut. Rămâne să ne amintim că suma $1+2+3+\dots +2016$ este o sumă Gauss, adică, $1+2+3+\dots+2016=\frac {2016\cdot 2017} {2} =1008\cdot 2017$.


Acum, dacă recitim enunțul problemei, vedem că putem scrie $$A (n) =A(1008\cdot 2017). $$ De aici, printr-o "simplificare" cu litera $A$ precum cea de la subpunctul precedent, rezultă că  $$\color{red} {n=1008\cdot 2017}, $$ ceea ce denotă faptul că numărul $n$ este un multiplu de $2017$, așa cum trebuia să arătăm (multiplu de $2017$ sau divizibil cu $2017$ este unul și același lucru) .