Faceți căutări pe acest blog

miercuri, 27 iulie 2016

Mate-info 2016, subiectul II, problema 1c


Se consideră matricea $A(x) =\left(\begin{array}{ll} 1&x&0\\ 0&1&0\\ 0&0&2^x\\ \end{array} \right)$, unde $x$ este un număr real.

Știind că $A(n)=A(1)\cdot A (2)\cdot A (3)\cdot\dots\cdot A (2016) $, demonstrați că $n$ este număr natural divizibil cu $2017$.



Elevul concentrat și eliberat deja de emoția începutului de examen, se va gândi că ar trebui să fie o legătură între numărul $2016$ și $2017$. Apoi, gândind că aceste numere sunt alese la întâmplare, în funcție de anul curent, va conștientiza că trebuie să caute o metodă generală pentru a găsi soluția, o metodă independentă de aceste numere.



În aceste condiţii ce ar trebui făcut? Gândind la subpunctul precedent, elevul va constata că înmulțirea a două matrice de tipul dat poate aduce surprize plăcute, așa că se va pregăti sufletește să facă înmulțirea necesară, fiind convins că nu va fi o pierdere de timp. Timpul e foarte prețios și trebuie gestionat cu grijă; nu vă angajați în calcule cu nesăbuință. Aveți cam zece minute pentru un subpunct.

Haideți, deci, să vedem ce iese atunci când facem înmulțirea a două matrice generice de acest tip. Avem așa $$A(x) \cdot A (y)=\left(\begin{array}{ll} 1&x&0\\ 0&1&0\\ 0&0&2^x\\ \end{array} \right)\cdot \left(\begin{array}{ll} 1&y&0\\ 0&1&0\\ 0&0&2^y\\ \end{array} \right) .$$

Făcând înmulțirea, obținem $$A(x) \cdot A (y)=\left(\begin{array}{ll} 1+0+0&y+x+0&0+0+0\\ 0+0+0&0+1+0&0+0+0\\ 0+0+0&0+0+0&0+0+2^x\cdot 2^y\\ \end{array} \right) .$$

Și cum $2^x\cdot 2 ^y=2^{x+y}$, obținem $$A(x) \cdot A (y)=\left(\begin{array}{ll} 1&y+x&0\\ 0&1&0\\ 0&0&2^{x+y}\\ \end{array} \right), $$ rezultat care ne spune de fapt ceva remarcabil și anume că $$A(x) \cdot A (y) =A(x+y). $$

Aici este esența rezolvării, în faptul că $A(x) \cdot A (y) =A(x+y) $. Această minunăție de concluzie ne spune că $$A(1)\cdot A (2)\cdot A (3)\cdot\dots\cdot A (2016)=A(1+2+3+\dots+2016) .$$

Mai rămâne puțin de făcut. Rămâne să ne amintim că suma $1+2+3+\dots +2016$ este o sumă Gauss, adică, $1+2+3+\dots+2016=\frac {2016\cdot 2017} {2} =1008\cdot 2017$.


Acum, dacă recitim enunțul problemei, vedem că putem scrie $$A (n) =A(1008\cdot 2017). $$ De aici, printr-o "simplificare" cu litera $A$ precum cea de la subpunctul precedent, rezultă că  $$\color{red} {n=1008\cdot 2017}, $$ ceea ce denotă faptul că numărul $n$ este un multiplu de $2017$, așa cum trebuia să arătăm (multiplu de $2017$ sau divizibil cu $2017$ este unul și același lucru) . 

Niciun comentariu:

Trimiteți un comentariu

Exprimați-vă părerea despre articol sau cereți lămuriri suplimentare, ca să transmitem cât mai multă informație celor care au nevoie de ea.

Comentariul va apărea după un anumit interval de timp necesar moderării.