Faceți căutări pe acest blog

vineri, 31 octombrie 2014

Cum e cu schimbarea de variabilă


Știm cu toții că una dintre cele mai simple integrale este, așa cum rezultă din tabele,
$$\int e^x dx=e^x.$$

În acest articol vom discuta despre schimbarea de variabilă, din $x$ în $u$. Cu această ocazie ne putem întreba cât ar fi
$$\int e^u du.$$

Observați că singurul lucru pe care l-am schimbat în expresia integralei $\int e^x dx=e^x$ a fost litera $x$, pe care am schimbat-o cu litera $u$. Atunci, și rezultatul va fi tot ceva în care vom schimba doar litera. Mai exact, avem și
$$\int e^u du=e^u.$$

Și, desigur, am putea schimba litera cu orice altă literă, că tot un astfel de rezultat am obține:
$$\int e^y dy=e^y,$$
$$\int e^v dv=e^v,$$
$$\int e^s ds=e^s.$$

Și-atunci, la ce mai e bună schimbarea literei? Tocmai, schimbarea literei nu ne ajută deloc. Căci simpla schimbare a literei nu este echivalentă cu schimbarea de variabilă propriu-zisă. Pentru a schimba variabila trebuie să facem ceva mult mai profund decât o simplă schimbare de literă.



Șmecheria schimbării de variabilă este dată de diferențiala care apare sub integrală. Veți înțelege de-acum de ce se tot pune câte-un $dx$ la fiecare integrală. Veți înțelege cât de mult contează această diferențială.

Deci, nu este totuna
$$\int e^x dx$$
cu
$$\int e^u d\color{red}{x}.$$



Să vă dau un exemplu. Știți că $\int e^x dx=e^x$. De asemenea, știți că $\int e^u du=e^u$, oricât ar fi $u$. Haideți să punem în locul lui $u$ tocmai $2x$, să vedem ce iese. Am avea atunci că
$$\int e^u du=\int e^{2x}d{\color{red}{(2x)}}=e^{2x}=e^u.$$
Rezultat corect. Așadar
$$\int e^{2x}d{\color{red}{(2x)}}=e^{2x}.$$

Dar să presupunem că noi vrem acum să știm cât este
$$\int e^{2x}d{\color{red}{x}}.$$

Desigur, cele două vor fi diferite. Adică, vom avea că
$$\int e^{2x}d{\color{red}{(2x)}}\neq\int e^{2x}d{\color{red}{x}}.$$

Ele nu diferă foarte mult în acest caz, dar totuși diferă, iar asta este important. Anticipând puțin am să vă arăt rezultatul:
$$\int e^{2x}dx=\frac{1}{2}e^{2x}.$$

Apare, deci, un $\frac{1}{2}$ suplimentar în fața rezultatului, în comparație cu
$$\int e^{2x}d(2x)=e^{2x}.$$

Deci, rețineți,
$$e^{2x}=\int e^{2x}d{\color{red}{(2x)}}\neq\int e^{2x}d{\color{red}{x}}=\frac{1}{2}e^{2x}.$$



Acum, cu acest exemplu ați văzut importanța diferențialei pentru rezultatul integralei. Dar să vedem lucruri și mai clare, cantitative. De unde am inventat eu acel $\frac{1}{2}$? Cum l-am găsit?

Pentru a găsi răspunsul, trebuie să găsim o legătură cantitativă între diferențiala lui $u$ (adică $du$) și diferențiala lui $x$ (adică $dx$). Există o legătură frumoasă între ele. În cuvinte, această legătură se exprimă în felul următor: derivata lui $u$ este tocmai raportul dintre diferențiala lui $u$ și diferențiala lui $x$.

Simbolic, avem
$$u^\prime=\frac{du}{dx}.$$
Această relație ne dă deja legătura mult dorită între cele două diferențiale. Mai exact, avem
$$\color{blue}{du=u^\prime dx}.$$

Sau, din această relație mai putem scrie și
$$\color{blue}{dx=\frac{du}{u^\prime}}.$$

Așa că acum avem atât posibilitatea de a folosi diferențiala $dx$, cât și posibilitatea de a folosi diferențiala $du$. Dar, e de preferat să folosim diferențiala $\color{limegreen}{dx}$ atunci când lângă funcția de integrat apare o expresie care ar putea fi considerată $u^\prime$ și e de preferat să folosim diferențiala $\color{magenta}{du}$ atunci când lângă funcția de integrat nu apare ceva interesant care ar putea fi considerat $u^\prime$.


Exemple. Exemplu de funcție lângă care nu apare $u^\prime$. Tocmai exemplul de mai sus, adică
$$\int e^{2x}dx.$$
Desigur, am vrea să avem ceva de genul $e^u$, deci îl vom lua pe $u$ ca fiind egal cu $2x$. Și $u^\prime=2$. Așadar, lângă funcția noastră, sub integrală nu apare $2$, deci e de preferat să folosim diferențiala $du$. Avem atunci
$$\int e^{2x}dx=\int e^{2x}\frac{du}{u^\prime}=\int e^u\frac{du}{2}=\frac{1}{2}\int e^udu=\frac{1}{2}e^u=\frac{1}{2}e^{2x}.$$
Acum ați văzut de unde am scos acel $\frac{1}{2}$ când am anticipat rezultatul acestei integrale.



Să vedem acum un alt exemplu, de data aceasta în care apare sub integrală ceva ce poate fi considerat $u^\prime$. Să se calculeze
$$\int 2x e^{x^2} dx.$$

Observăm imediat că în cazul nostru $u=x^2$ și, deci, $u^\prime=2x$. Așadar, integrala noastră va fi
$$\int 2x e^{x^2} dx=\int u^\prime e^u dx=\int e^u (u^\prime dx).$$ Și cum $u^\prime dx=du$, avem mai departe că
$$\int 2x e^{x^2} dx=\int e^u (u^\prime dx)=\int e^u du.$$
Și cum litera nu mai contează, așa cum am văzut la începutul articolului, avem că
$$\int e^u du=e^u.$$
Și cum la noi $u=x^2$, rezultă că integrala este în final
$$\int 2x e^{x^2} dx=\int e^u (u^\prime dx)=\int e^u du=e^{x^2}.$$


Mamăăăă, acuma văd ce mult am vorbit pentru a vă explica schimbarea de variabilă! Ce ineficient am fost! Oare nu se puteau spune toate aceste lucruri mult mai eficient? Ce părere aveți? Voi cum ați fi explicat altfel această lecție?

Niciun comentariu:

Trimiteți un comentariu

Exprimați-vă părerea despre articol sau cereți lămuriri suplimentare, ca să transmitem cât mai multă informație celor care au nevoie de ea.

Comentariul va apărea după un anumit interval de timp necesar moderării.