Ultima problemă din testul generat automat în 5 august

A noua problemă, deci ultima, ne cere să găsim cel mai mic număr natural din intervalul (-7; 4]. Cu puțină atenție, elevul nu va confunda cerința. Căci, în timp ce un elev neatent ar putea crede că răspunsul este $-6$, elevul vigilent va observa că se cere numărul care trebuie să fie natural, nu întreg. 

Și cum numerele naturale nu sunt negative, cel mai mic număr natural posibil este numărul $0$. Și cum acest număr se regăsește în intervalul dat, răspunsul final va fi, desigur, $\color{red}{0}$.

Problema 8 din testul precedent, geometrie cu teorema medianei principale și a unghiului de 30

A opta problemă din test, de geometrie, ne spune că avem cateta mică de 14 cm și se cere distanța de la vârful unghiului mic la suportul medianei principale. Oare putem rezolva problema în 45 de secunde?

Elevul harnic va schița repede un desen de genul:

Acest desen este justificat de două teoreme importante pe care le-a învățat deja elevul isteț de clasa a șaptea: teorema unghiului de 30 de grade (care poate fi înlocuită și de funcțiile trigonometrice) și teorema medianei principale (cea corespunzătoare ipotenuzei).

Mai precis, elevul care știe ce este mediana corespunzătoare ipotenuzei va pregăti dreapta roșie, căci aceasta conține mediana care pornește din vârful unghiului de 90 de grade și se duce pe mijlocul M al ipotenuzei.

De asemenea, dacă știe ce înseamnă distanță de la un punct la o dreaptă, va duce frumos o perpendiculară (albastră) pe dreapta roșie din vârful unghiului mic, de 30 de grade, așa cum cere problema. 

Cu desenul făcut își va aminti că triunghiul dreptunghic special (Timaios) care are un unghi de 30 de grade este un triunghi cu proprietăți minunate (iar pentru studiul acestui triunghi are un echer cu un unghi de 30 de grade). Mai exact, își va aminti teorema unghiului de 30 de grade care spune că într-un asemenea triunghi dreptunghic special (ce cu unghiul de 30 de grade) ipotenuza este dublul catetei mici. 

Cunoscând ipotenuza și cateta mică, el poate determina cu teorema lui Pitagora lungimea catetei mari. Sau, dacă este și mai isteț, el poate reține că lungimea catetei mari în triunghiul acesta minunat este ca și a celei mici, doar că îi mai lipim un radical din trei. Sau, dacă îi plac funcțiile trigonometrice, va putea afla direct cateta mare din cateta mică cu ajutorul funcției tangentă de 30 de grade care este raportul dintre cateta opusă unghiului de 30 de grade (cea mică în cazul nostru) și cateta alăturată (cea mare).

Odată ce a găsit lungimea catetei mari, elevul nostru va trebui să-și amintească teorema medianei principale care îi va spune că în orice triunghi dreptunghic (nu doar în cel cu un unghi de 30 de grade) mediana corespunzătoare ipotenuzei este și ea jumătate din ipotenuză, ceea ce înseamnă că triunghiul AMB este isoscel, deci și unghiul BAD este de 30 de grade, deci și în triunghiul BAD poate folosi teorema unghiului de 30 de grade, deci cateta mică din acest triunghi, adică BD va fi jumătate din ipotenuza triunghiului BAD, care ipotenuză este acum AB, adică fosta catetă mare din triunghiulABC, a cărei lungime a găsit că este $14\sqrt{3}$. 

Și cum jumătate din $14\sqrt{3}$ este $\color{red}{7\sqrt{3}}$, elevul care știe dinainte, fără să clipească, toate aceste lucruri, poate finaliza rezolvarea într-un timp rezonabil, din câteva priviri ale desenului făcut corect.

Problema 6 din testul-fulger: calculează $\frac{21+\sqrt{98}}{3+\sqrt{2}}$

Pentru a face calculul cerut de problema 6 în 60 de secunde

$$\frac{21+\sqrt{98}}{3+\sqrt{2}}$$

va trebui să aducem la o formă mai simplă expresia, așa cum spuneam la problema 4 deja rezolvată. Dar, de data aceasta, numitorul acestei fracții urâte este oarecum mai complicat, căci are o adunare și ar însemna că raționalizarea numitorului acestei fracții ar fi ceva mai laborioasă decât a fost la problema 4.

Rezolvarea cu factorul comun

Mai bine, dacă aruncăm o privire la numărătorul fracției (partea de sus), constatăm că acolo se află radicalul $\sqrt{98}$ pe care elevul cu experiență știe că trebuie să-l modifice puțin, adică „să scoată factorul de sub radical”, căci numărul 98 nu este „liber de pătrate”, în el ascunzându-se pătratul perfect $49$. Așadar, din $\sqrt{98}$ putem să facem $$\sqrt{98}=\sqrt{49\cdot 2}=\sqrt{49}\cdot\sqrt{2}=7\sqrt{2}.$$

Cu această observație, fracția noastră devine acum 
$$\frac{21+\sqrt{98}}{3+\sqrt{2}}=\frac{21+7\sqrt{2}}{3+\sqrt{2}}.$$

Acum numărătorul are o poveste fascinantă, care ne va permite să rezolvăm mai repede problema decât am fi rezolvat-o dacă porneam pe drumul raționalizării. Mai exact, expresia $21+7\sqrt{2}$ ne permite să dăm factorul comun pe $7$, deoarece $21=7\cdot 3$. Atunci calculul nostru devine mult mai interesant:

$$\frac{21+\sqrt{98}}{3+\sqrt{2}}=\frac{21+7\sqrt{2}}{3+\sqrt{2}}=\frac{7(3+\sqrt{2})}{3+\sqrt{2}}.$$

Sunt convins că acum ați observat deja magia calculului care urmează: putem simplifica cu $\color{blue}{3+\sqrt{2}}$! Yuuuuppppiiii! Ce simplu a fooost! Așadar, simplificând obținem 

$$\frac{21+\sqrt{98}}{3+\sqrt{2}}=\frac{21+7\sqrt{2}}{3+\sqrt{2}}=\frac{7(\color{blue}{3+\sqrt{2}})}{\color{blue}{3+\sqrt{2}}}=\frac{7}{1}=\color{red}{7}.$$

Rezolvarea cu raționalizarea

Desigur, dacă am fi urmat drumul raționalizării înainte să observăm că se naște factorul comun ce ne va permite simplificarea, am fi ajuns la aceeași valoare, căci Matematica este coerentă, doar că ne-ar fi purtat pe căi mai întortocheate. Iată cam ce însemna raționalizarea numitorului, deci amplificarea cu conjugata.

Știm că atunci când avem o sumă (sau diferență) cu radicali la numitor, putem amplifica fracția cu așa-numita „expresie conjugată”, adică exact aceeași expresie care se regăsește deja la numitor, doar că cu semnul schimbat (dacă este sumă, amplificăm cu diferența, iar dacă e diferență amplificăm cu suma).

Atunci, făcând amplificarea și muncind cu răbdare pentru a desface apoi parantezele prin înmulțirea termenilor corespunzători, avem

$$\frac{21+\sqrt{98}}{3+\sqrt{2}}=\frac{(3-\sqrt{2})(21+\sqrt{98})}{(3-\sqrt{2})(3+\sqrt{2})}=$$

$$=\frac{63+3\sqrt{98}-21\sqrt{2}-\sqrt{2}\sqrt{98}}{9-2}.$$

Observați că pentru numitor am folosit formula de calcul prescurtat care spune că $$\color{red}{(a-b)(a+b)=a^2-b^2},$$ adică $(3-\sqrt{2})(3+\sqrt{2})=3^2-(\sqrt{2})^2=9-2$.

Apoi, ocupându-ne de numărător și observând că $3\sqrt{98}=3\cdot 7\sqrt{2}=21\sqrt{2}$, care se va reduce cu $-21\sqrt{2}$ și observând că produsul acela de radicali va da $\sqrt{2}\sqrt{98}=\sqrt{196}=14$, calculul nostru devine atunci 

$$\frac{63+3\sqrt{98}-21\sqrt{2}-\sqrt{2}\sqrt{98}}{9-2}=\frac{63-14}{7}=\frac{49}{7}=\color{red}{7}.$$

O groază de lucru cu raționalizarea asta, dar măcar tot i-am dat de capăt și am ajuns la același rezultat.

Problema 5 din testul-fulger recent

Problema 5 ne spune că într-o parcare sunt automobile și biciclete, în total 17 vehicule și 44 de roți. Ne cere numărul de biciclete. Rezolvarea ar putea dura în mod normal vreo 60 de secunde, dar nu este exclus să se poată rezolva și mai repede.

Metoda mai veche a elevului de clasa a cincea: metoda falsei ipoteze

Cum procedăm? În ultimă instanță, problema ar putea fi rezolvată chiar și de către un elev bun de clasa a cincea, prin metoda falsei ipoteze, adică acea metodă în care presupunem ceva chiar dacă ar fi absurd și tragem concluziile care se impun. 

De exemplu, am putea presupune că toate vehiculele ar fi biciclete. Atunci am obține prea puține roți. Mai exact, dacă vehiculele ar fi numai biciclete, cum ele au doar câte două roți, ar însemna că totalul de 17 vehicule, deci de 17 biciclete, ne aduce doar $17\cdot 2=34$ de roți. Ori problema spune că sunt 44 de roți, deci cu $44-34=\color{blue}{10}$ roți mai mult decât în realitate. Înseamnă că acele 10 roți în plus se datorează automobilelor care au, de regulă, patru roți, adică cu $4-2=\color{green}{2}$ roți în plus față de biciclete. Ar rezulta că automobile sunt de fapt $\frac{\color{blue}{10}}{\color{green}{2}}=5$ și doar $17-5=\color{red}{12}$ biciclete.

La același rezultat ajungem și dacă facem o altă presupunere absurdă, de exemplu că toate sunt automobile. Atunci am avea $17\cdot 4=68$ de roți, adică cu $68-44=24$ mai mult decât în realitate, ceea ce înseamnă că cele $24$ de roți în minus se datorează diferenței de roți $4-2=2$ provenite de la biciclete.

Observați că metoda falsei ipoteze presupune, de regulă două scăderi și o împărțire. Desigur, metoda putea fi aplicată la orice presupunere. Chiar dacă am fi presupus că sunt 16 automobile și o singură bicicletă, am fi ajuns la concluzia corectă. 

Metoda modernă a elevului de clasa a șaptea: metoda sistemului

Dar, desigur, elevul de clasa a șaptea are o metodă mult mai modernă făcând un sistem frumos pe care să-l rezolve. Notând cu $a$ numărul automobilelor și cu $b$ cel al bicicletelor, elevul de clasa a șaptea va scrie sistemul:

$$\begin{cases}
\,\,\,a+\,b&=17\\
4a+2b&=44
\end{cases}$$

și va rezolva acest sistem cu metoda reducerii. Mai exact, va amplifica, de exemplu, prima relație cu $(-4)$ ca să elimine automobilele și va obține

$$\begin{cases}
-4a-4b&=-68\\
\,\,\,\,4a+2b&=\,\,44
\end{cases}.$$

Adunând apoi cele două linii ale sistemului, i se vor reduce automobilele și va rămâne cu ecuația simplă $$-2b=-24,$$ care ne duce, desigur, la răspunsul final, $$\color{red}{b=12}.$$

A patra problemă din testul-fulger: calculează $\frac{4}{\sqrt{8}}$

O problemă de 10 secunde ne cere să calculăm $\frac{4}{\sqrt{8}}$.

Ce înseamnă în acest context „a calcula”? Înseamnă a aduce la o formă și mai simplă, făcând diverse calcule care ne-ar putea apropia de o asemenea formă. De exemplu, din $\sqrt{8}$, scoțând factorul posibil, noi putem obține ceva mai interesant și anume $2\sqrt{2}$.

De aceea, avem mai departe că $$\frac{4}{\sqrt{8}}=\frac{4}{2\sqrt{2}}.$$

Apoi, simplificând cu 2, obținem $$\frac{4}{\sqrt{8}}=\frac{4}{2\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}.$$

În fine, cum numărul $2$ se poate scrie și ca $2=\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}$, simplificând apoi cu $\sqrt{2}$, rezultă că avem
$$\frac{4}{\sqrt{8}}=\frac{4}{2\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\color{red}{\sqrt{2}},$$

ceea ce reprezintă rezultatul final al calculului dorit.

Completează punctele de suspensie: $x^2+\dots+16=(x+4)^2$

Problema 3 din testul de clasa a șaptea generat în 5 august ne cere să completăm în 5 secunde punctele de suspensie în cazul următor: $$x^2+\dots+16=(x+4)^2$$

Elevul care cunoaște formula de calcul prescurtat $$\color{red}{(a+b)^2=a^2+2ab+b^2},$$ va realiza repede că poate fi aplicată și în cazul în care $a=x$, respectiv $b=4$. Atunci el va face o evaluare mentală rapidă și va scrie în minte că 

$$(x+4)^2=x^2+2\cdot x\cdot 4+4^2=x^2+8x+16.$$

Cum egalitatea este simetrică, dacă $ceva=altceva$, atunci și reciproc, $altceva=ceva$. Astfel, dacă $(x+4)^2=x^2+8x+16$, atunci și $$x^2+\color{red}{8x}+16=(x+4)^2.$$ Dar ultima relație ne scoate în evidență tocmai termenul care lipsea în punctele de suspensie, adică $$\color{red}{8x}.$$

Astfel, dacă veți reține formulele de calcul prescurtat, cu certitudine veți putea rezolva rapid asemenea problemuțe drăguțe.

Problema 2 din testul de clasa a șaptea generat automat în 5 august 2021

Lucrăm în continuare pe testul precedent, de data aceasta la problema 2, de geometrie.

A doua problemă din test ne spune că triunghiurile AUL și ULA sunt asemenea. Chiar dacă nu desenați aceste triunghiuri, din teorema fundamentală a asemănării rezultă o egalitate frumoasă de trei rapoarte pe care le puteți scrie privind ordinea literelor date în formularea asemănării (ordinea literelor este crucială).

Mai precis, dacă triunghiurile AUL și ULA sunt asemenea, înseamnă că, din teorema fundamentală a asemănării (notată uneori prescurtat cu TFA), o teoremă foarte puternică și bogată în consecințe, rezultă următoarele egalități, care exprimă raportul de asemănare k: 

$$\frac{AU}{UL}=\frac{AL}{UA}=\frac{UL}{LA}=k.$$

Aceste rapoarte conțin la numărător litere din primul triunghi, iar la numitor literele corespunzătoare ordinii lor, din al doilea triunghi. De exemplu, primul raport este format cu primele două litere din primul triunghi supra primele două litere din al doilea triunghi.

Din aceste rapoarte, cum $AU=UA$, deci ordinea literelor nu contează, rezultă astfel că:

$$AU=kUL,$$

$$AL=kAU=k(kUL)=k^2UL$$

și

$$UL=kAL=k(k^2UL)=k^3UL.$$

Din ultima relație obținem că valoarea lui k nu poate fi decât 1. Așadar, în fine, $AU=1\cdot UL=1\cdot AL$, ceea ce denotă că triunghiul dat este echilateral, așa cum apare în dreptul răspunsurilor.

Aceasta este demonstrația riguroasă, dar intuiția unui rezolvitor de probleme de geometrie de clasa a șaptea îi permite acestuia să se încadreze în timpul necesar obținerii punctajului maxim (deci în 20 secunde).

Problema 1 din test clasa a șaptea, generat automat în 5 august 2021

Lucrăm azi pe testul

Prima problemă din test ne cere să comparăm numărul $12\sqrt{2}$ cu 17 și să stabilim care este cel mai mare dintre ele. Desigur, având în vedere că numărul $\sqrt{2}$ este un număr ciudat, cu o infinitate de zecimale, neperiodic, deci irațional, nu putem face o comparație clară, directă în forma brută pe care am primit-o, așa că va trebui să facem o mică transformare a celor două numere. Avem la dispoziție 20 de secunde (așa cum se vede în coloana timpului) să transformăm cele două numere în așa fel încât să semene mai mult, adică le vom pune pe ambele să apară sub radical, pentru că nu putem scăpa de radical. 

Atunci, vom, avea: $$12\sqrt{2}=\sqrt{12^2\cdot 2}=\sqrt{288}$$ pe de o parte și $$17=\sqrt{289}$$ de cealaltă parte. Așadar, avem de comparat numerele $\sqrt{288}$ cu $\sqrt{289}$, o sarcină mult mai ușoară acum. Deoarece 289 este mai mare decât 288, va rezulta că răspunsul la problemă este 17.

Am început să creez teste-fulger automatizate

Fiind preocupat mereu de o evaluare foarte eficientă a elevilor mei, de o prezentare sintetică a cunoștințelor pe care trebuie să le acumuleze aceștia, precum și de eliberarea lor definitivă de meditațiile în particular, am conceput un sistem care generează din minut în minut un număr nelimitat de teste-fulger automatizate pe care am să vi le descriu mai jos.

În prima imagine vedeți un instantaneu al fișierului pentru clasa a 5-a fără răspunsuri, iar în a doua imagine apare fișierul cu răspunsuri. La fiecare încărcare a fișierului apar alți itemi, deoarece apariția lor este condiționată de numere pseudoaleatoare care fac apel la fișierul de bază ce conține momentan 300 de probleme de clasa a cincea.

În antetul testului apare timpul aproximativ în care un elev cu cunoștințe medii ar trebui să rezolve toate problemele din test. Desigur, părintele sau profesorul care va folosi testul poate mări sau micșora proporțional durata testului după dorință, în funcție de capacitățile elevilor sau de viteza lor de reacție. Mai precis, dacă elevii sunt foarte slabi, profesorul sau părintele poate dubla sau tripla timpul corespunzător itemilor, în timp ce elevii foarte rapizi pot înjumătăți timpul de rezolvare.

Pe ultima coloană apare punctajul aferent itemului corespunzător, determinat în funcție de durata asociată pentru rezolvarea lui. După rezolvarea testului de către elev, profesorul sau părintele va totaliza numai punctajul aferent itemilor rezolvați corect, la care va adăuga cele 10 puncte din oficiu, obținând astfel numărul de puncte ce poate fi acordat elevului pentru rezolvare.   

Recomand părinților să achiziționeze fișierul de teste cu răspunsuri, chiar dacă este mai scump, deoarece vor putea evalua ei înșiși elevul. Mai mult, dacă nu va avea nevoie de explicații suplimentare, este posibil ca, rezolvând un număr convenabil de teste din fișier și confruntându-și răspunsurile proprii cu cele corecte, elevul să acumuleze de unul singur din teste multe cunoștințe care i-ar putea permite să se descurce ulterior fără profesor meditator.

De asemenea, recomand părinților care au achiziționat fișierul cu răspunsuri și care doresc să-și evalueze astfel copilul, să realizeze o captură de ecran cu testul instantaneu și să acopere manual prin editare răspunsurile, pentru ca elevul să nu le vadă înainte de evaluare, desigur. Nu uitați să capturați testul cât mai curând, altfel există riscul să se schimbe după un interval de timp datorită reîmprospătării serverului.

Deocamdată, la momentul scrierii acestui articol, am lucrat și lucrez doar pentru fișierul de clasa a cincea și am reușit să acumulez 300 de itemi. De-a lungul timpului voi adăuga din ce în ce mai mulți itemi, prețul abonamentului anual rămânând însă neschimbat pentru tot anul școlar 2021-2022, dar prețul abonamentului lunar putându-se modifica în funcție de numărul de itemi pe care am reușit să-i creez. De aceea, cei care se abonează pentru întregul an școlar 2021-2022 vor fi foarte avantajați.

Relația vectorială a lui Chasles

Liceenii de clasa a IX-a încep să învețe despre minunații vectori, adică despre acele entități matematice care au și direcție, nu doar valoare, adică au o mai mare legătură cu spațiul decât numerele simple învățate de ei în gimnaziu. Vectorii sunt determinați de perechi ordonate de puncte din spațiu și putem face cu ei operații matematice precum adunarea, scăderea și chiar înmulțirea (doar că înmulțirea este de trei tipuri: cu scalari, scalară și vectorială).

Relația lui Chasles ne spune că dacă adunăm doi vectori în care al doilea vector începe cu litera cu care se termină primul vector, atunci rezultatul este un alt vector în care litera respectivă a dispărut. Adică:

$$\vec{AB}+\vec{BC}=\vec{AC}.$$

Observați cum litera B a dispărut pus și simplu, deoarece „s-a ciocnit prin adunare” de la un vector la celălalt.

Fenomenul este și reciproc. Adică, putem insera o literă nouă acolo unde dorim noi, așa ca în exemplul de mai jos:

$$\vec{XY}=\vec{XZ}+\vec{ZY}.$$

Iată un exemplu de problemă care poate fi rezolvată cu ajutorul formulei lui Chasles: 

Fie două segmente AB și CD care au același mijloc. Să se arate că atunci are loc relația $\vec{AD}+\vec{BC}=\vec{0}$.

Începem rezolvarea de la faptul că cele două segmente trebuie să aibă același mijloc. Atunci, notând cu M mijlocul respectiv, trebuie să avem relațiile: $$\vec{AM}=\vec{MB}$$ și $$\vec{CM}=\vec{MD},$$ căci așa exprimăm vectorial faptul că M se află la mijlocul segmentelor AB și CD.

Fără să facem niciun desen (care ne-ar arăta că este vorba despre un paralelogram) putem rezolva problema, doar folosind relația lui Chasles. Iată cum. Vom transforma relațiile precedente în așa fel încât să ne apară zeroul acela dorit în dreapta, după care le vom scădea termen cu termen și cu relația lui Chasles vom obține minunea. Adică:

$$\vec{AM}-\vec{MB}=\vec{0}$$ și $$\vec{CM}-\vec{MD}=\vec{0},$$ pe care le scădem termen cu termen și obținem:

$$\vec{AM}-\vec{MB}-\vec{CM}+\vec{MD}=\vec{0}+\vec{0}.$$ 

Această ultimă relație poate fi prelucrată mai frumos, pentru a așeza literele convenabil ca în relația lui Chasles, adică:

$$\vec{AM}+\vec{MD}-(\vec{CM}+\vec{MB})=\vec{0}+\vec{0}.$$ 

Cum litera M dispare datorită lui Chasles, spre ușurarea noastră, ne rămâne doar

$$\vec{AD}-\vec{CB}=\vec{0}.$$ 

Și cum prin comutarea literelor unui vector schimbăm semnul acelui vector, obținem exact ceea ce trebuia și anume:

$$\vec{AD}+\vec{BC}=\vec{0}.$$ 

De regulă, în rezolvarea problemelor vectoriale relația lui Chasles vă ajută cu mare probabilitate. Totul este să știți să jonglați cu litera de care aveți nevoie și cu litera care doriți să dispară obligatoriu. 

Un mic truc pentru a menține elevii atenți în predarea online

Un mic truc pentru profesorii care vor să-și mențină elevii atenți la ceea ce scriu în timpul ședințelor online:

în timp ce vorbește „verzi și uscate”, lucruri neinteresante pentru elev, profesorul poate scrie subtil pe tablă numele unui elev și în dreptul său un calcul extrem de simplu, la care elevul poate (și trebuie) să răspundă instantaneu, precum „Alex 2+4”. Astfel, profesorul poate testa atenția elevului Alex. Dacă elevul răspunde rapid, înseamnă că este cu ochii în ecran la ceea ce predă profesorul, dar dacă nu răspunde rapid la o asemenea întrebare simplă, e clar că se ocupă de altceva.

Desigur, pentru mine, în predarea în particular nu este necesar să aplic asemenea trucuri, deoarece elevii mei plătesc pentru a mă auzi și implicit sunt interesați de ceea ce spun. În schimb, dacă aș fi fost profesor la o clasă, aș fi aplicat asemenea metode.

Criterii de paralelism

Mai jos vedeți două drepte albastre tăiate de o secantă roșie, precum și opt unghiuri numerotate corespunzător.

Unghiurile 3, 4, 5, 6 aflate între cele două drepte albastre se numesc „interne”, iar unghiurile 1, 2, 7 și 8 se numesc „externe”. Unghiurile aflate de o parte și de alta a secantei se numesc „alterne”.

Cu aceste denumiri în minte putem vorbi despre combinații de asemenea denumiri, precum „alterne interne” (perechile de unghiuri (4,6) sau (3,5)) sau „interne de aceeași parte a secantei” ((3,6) sau (4,5)).

Mai avem și patru perechi de unghiuri „corespondente” date de unghiurile (1,5), (2,6), (4,8) și (3,7).

Unul dintre cele mai importante criterii de paralelism pentru dreptele albastre din această figură fundamentală este dat de următoarea propoziție: „dacă unghiurile alterne interne sunt congruente, atunci dreptele albastre sunt paralele”.

Este valabilă și reciproca.

Mai mult, puteți înlocui expresia „alterne interne” cu „alterne externe” sau cu „corespondente” și veți obține alte criterii faine de paralelism.

De asemenea, dar să nu mă înjurați, puteți înlocui expresia „alterne interne sunt congruente” cu „interne de aceeași parte a secantei sunt suplementare” și veți obține unul dintre cele mai urâte și mai rar folosite criterii de paralelism.

În fine, dacă într-o anumită problemă doriți neapărat să arătați și altfel că două drepte sunt paralele, atunci puteți să descoperiți în figură un paralelogram care să aibă două laturi opuse pe acele drepte.

Muuult succes!

Unghiul diedru

Dacă în clase mai mici ați învățat despre unghiul (deschiderea) dintre două (semi)drepte, ei bine, în clasa a opta învățați despre unghiul dintre două (semi)plane. 

Unghiul dintre două plane este, de exemplu, unghiul cel mai mic dintre planul ecranului unui laptop și planul tastaturii sale. Astfel, pentru a putea determina unghiul (adică, deschiderea) dintre ecran și tastatură este necesar să determinați întâi muchia comună celor două plane, după care să găsiți câte o dreaptă perpendiculară pe acea muchie, una dintre drepte aflându-se în planul ecranului, iar cealaltă dreaptă aflându-se în planul tastaturii. Dacă ați reușit să găsiți două astfel de drepte perpendiculare pe muchia comună a celor două plane, atunci unghiul dintre cele două plane este tocmai unghiul dintre cele două drepte.

Un exemplu notabil este unghiul dintre planul unei fețe (VBC) a unei piramide și planul bazei sale (ABC). Muchia comună a acestor plane este BC, iar unghiul dintre planele menționate este tocmai unghiul dintre apotema piramidei, VM și apotema bazei, OM, desenate mai jos cu albastru, respectiv, cu verde. 

Așadar, pentru a determina unghiul dintre două fețe găsim întâi muchia comună celor două fețe și apoi căutăm două perpendiculare pe acea muchie. Desigur, punctajul maxim la rezolvarea problemei se va obține doar dacă elevul va demonstra că dreptele găsite de el sunt perpendiculare pe muchia comună.

Suma lui Gauss

Cum calculați $1+2+3+\dots+17$? Desigur, nu vă apucați să adunați termen cu termen, ci vă folosiți de metoda deșteaptă descoperită de Gauss și anume de aceea în care transformați această sumă într-un produs. Mai exact, îl luați frumușel pe ultimul termen (pe 17), îl înmulțiți cu succesorul său (adică cu 18) și împărțiți rezultatul la 2. Sau puteți începe întâi cu împărțirea numărului par (dintre două numere consecutive, întotdeauna unul va fi par).

Dar cum calculați $4+7+10+\dots+121$? Aici aveți de parcurs trei pași:

Pasul 1: determinați rația R, adică diferența dintre doi termeni consecutivi, deci cu cât crește fiecare termen. În cazul nostru rația este 3.

Pasul 2: determinați câte numere aveți de adunat. Pentru aceasta folosiți formula: $$\color{blue}{N=\frac{Ultimul-Primul}{Rație}+1}.$$ În cazul nostru, $N=\frac{121-4}{3}+1=40$.

Pasul 3: determinați, în sfârșit, suma propriu-zisă cu formula $$\color{red}{S=\frac{(Ultimul+Primul)\cdot \color{blue}{N}}{2}}.$$ Adică, în cazul nostru, $S=\frac{(121+4)\cdot 40}{2}=125\cdot 20=2500$.

Vă rog să observați că în pasul al treilea se adună ultimul și primul termen, nu se scad precum se făcea în pasul al doilea.

Apropo, puteți calcula această sumă și cu ajutorul minunatului Wolframalpha, accesând acest link. 

Mult succes!

Ecuațiile simple de gradul al doilea nu se rezolvă cu $\Delta$, ci mult mai simplu

Ecuațiile de gradul al doilea sunt cele mai importante ecuații învățate la final de gimnaziu și început de liceu. Ele se numesc de gradul al doilea pentru că necunoscuta, notată de obicei cu $x$, apare la puterea a doua.

Există mai multe tipuri de ecuații de gradul al doilea, unele mai simple, altele mai complicate. Cea mai simplă arată, de exemplu, așa $x^2=4$, în timp ce una urâtă arată, de exemplu, așa $\frac{13}{9}-5x^2=2x $.

În general, ecuațiile de gradul al doilea sunt prezentate astfel:

$$ax^2+bx+c=0.$$

Asemenea ecuații se rezolvă destul de greu, cu $\Delta$ și cu formula pentru $x_1$ și $x_2$.

În acest articol doresc să vă arăt cum rezolvați ecuațiile simple de gradul al doilea, ca să nu fiți nevoiți să le abordați cu metoda greoaie cu $\Delta$.

Există două tipuri de ecuații simple de gradul al doilea.

Ecuațiile simple de primul tip sunt cele care au coeficientul $b$ egal cu zero, adică ele nu îl conțin pe $x$ la puterea întâi. Iată un exemplu: $x^2-4=0$ sau alt exemplu, echivalent: $x^2=4$. Aceste ecuații sunt mai ușor de rezolvat, deoarece ultima formă ne dă deja soluțiile, adică, din $x^2=4$ obținem că $x$ poate fi $\sqrt 4$ sau $-\sqrt 4$. Atenție! Nu uitați de soluția negativă! Majoritatea elevilor uită că asemenea ecuații au două soluții, nu doar pe cea pozitivă.

Al doilea tip de ecuații simple sunt cele care au termenul liber nul. Iată un exemplu: $x^2+3x=0$. Asemenea ecuații se rezolvă dând factor comun pe $x$ și vor avea întotdeauna o soluție egală cu zero. Dându-l factor comun pe $x$, ecuația precedentă devine $x\cdot(x+3)=0$, deci a devenit un produs de doi factori. Când este nul un produs de doi factori? Desigur, atunci când unul dintre factori este nul. Cum unul dintre factori este $x$, rezultă că una dintre cele două soluții ale ecuației date va fi $x_1=0$, așa cum spuneam. Iar cealaltă soluție va fi dată de anularea parantezei, adică de $x+3=0$, ceea ce înseamnă $x_2=-3$.

Sper că vă dați seama, deci, că utilizarea metodei cu $\Delta$ pentru a rezolva asemenea ecuații de gradul al doilea simple este echivalentă cu utilizarea unei săbii pentru a tăia o pizza. Așadar, de acum înainte să știți să rezolvați ecuațiile de gradul al doilea simple cu aceste metode rapide.

O integrală trigonometrică transformată într-o integrală polinomială

Să calculăm integrala

$$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^4x\cos^3x dx$$

Integrala dată este o integrală trigonometrică, deoarece conține funcții trigonometrice. Pentru a o calcula vom face o magie, numită „schimbare de variabilă”. Schimbarea de variabilă este un fel de notație; mai exact, înlocuim o expresie urâtă cu o singură literă, cu speranța că integrala noastră va deveni mai simplă. 

Schimbarea noastră de variabilă va fi  

$$t=\sin{x}.$$ 

De unde am știut ce schimbare de variabilă să fac? Veți găsi răspunsul singuri, după ce veți înțelege finalul. Veți vedea de ce am anticipat modul în care se va transforma integrala.

Așadar, dacă admitem că facem schimbarea de variabilă  $t=\sin x$, atunci trebuie să admitem că se vor schimba și limitele de integrare corespunzător. Mai exact, dacă integrala inițială trebuia calculată de la $0$ la $\frac{\pi}{2}$, noua integrală va trebui calculată de la $\sin 0$ la $\sin{\frac{\pi}{2}}$, adică, de la $0$ la $1$.

Mai mult, dacă integrala inițială conținea litera $x$, această litera va trebui să dispară complet din noua integrală și în locul ei va apărea cumva noua literă $t$. Pentru ca această schimbare să reușească complet este necesară și înlocuirea particulei „$dx$” (numită „diferențială”), căci și această particulă conține litera $x$. Aceasta este una dintre cele mai grele sarcini, dar nu imposibilă. Așadar, să vedem cum procedăm.

Dacă $t=\sin x$, atunci $t$ devine o nouă funcție care depinde de variabila $x$, pe care o putem deriva în raport cu variabila $x$ pentru a descoperi cum vom obține noua diferențială. Cum derivata funcției sinus este funcția cosinus, vom avea că 

$$t'=\cos x,$$

 ceea ce înseamnă că puteți înlocui în integrala veche produsul „$\color{blue}{\cos x dx}$” cu diferențiala nouă „$\color{blue}{dt}$”. În general, această regulă de schimbare a diferențialei este că produsul „$t'dx$” devine simplu „$dt$”.

Zis și făcut. Acum, descompunând produsul $\cos^3 x$ în $\cos^2 x\cos x$, pentru a putea evidenția mai bine produsul „$\color{blue}{\cos x dx}$” și amintindu-ne că din teorema fundamentală a trigonometriei rezultă că putem înlocui $\color{green}{\cos^2 x}$ cu $1-\sin^2 x=\color{green}{1-t^2}$, vom putea rescrie integrala noastră astfel: 

$$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^4x\cos^3x dx=$$

$$=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^4x\color{green}{\cos^2 x}\color{blue}{\cos x dx}=$$

$$\int_0^1 t^4 \color{green}{(1-t^2)} \color{blue}{dt}.$$

Această ultimă integrală se calculează mai ușor decât integrala inițială, căci este o integrală polinomială. Mai exact, folosindu-ne de o formulă de integrare pe care o găsim în tabele, 

$$\color{red}{\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C},$$

prin desfacerea parantezei putem scrie integrala noastră mai simplu ca fiind

$$\int_0^1 t^4(1-t^2) dt=$$

$$=\int_0^1 t^4-t^6 dt=$$

$$=\int_0^1 t^4 dt-\int_0^1 t^6 dt=$$

$$=\left.\frac{t^5}{5}\right|_0^1-\left.\frac{t^7}{7}\right|_0^1=$$

$$=\frac 1 5-\frac 1 7=\frac{7-5}{35}.$$

Desigur, cei mai grăbiți, care vor și pot să beneficieze de avansul tehnologic al omenirii, pot accesa direct linkul corespunzător de la wolframalpha și obțin rezultatul calculului pentru integrala inițială în câteva secunde.

Dreptunghiul ABCD are AB=8 cm și BC=5 cm. Aria acestui dreptunghi este egală cu ...

4. Dreptunghiul ABCD are AB=8 cm și BC=5 cm. Aria acestui dreptunghi este egală cu ... cm2.

Dreptunghiul ABCD arată astfel:

Pentru aria unui dreptunghi elevul trebuie să cunoască o formulă simplă și importantă și anume:

A=L࠰l

Ea ne spune că aria unui dreptunghi este produsul dintre lungimea acestuia și lățimea lui. 

Semnificația fizică a ariei este asemănătoare cu semnificația fizică a lungimii. Mai precis, în timp ce lungimea unui segment reprezintă numărul de segmente mici de un centimetru care încap în acel segment, aria unei porțiuni de suprafață este numărul de pătrățele mici cu latura de un centimetru care încap în acea porțiune.

Așadar, dacă cumva nu am cunoaște formula ariei unui dreptunghi, dar am cunoaște semnificația fizică a ariei, am putea redescoperi noi această formulă pentru că înmulțirea lungimii cu lățimea este singura posibilitate de a găsi câte pătrățele mici ar putea încăpea într-un dreptunghi.

În problema noastră lungimea, deci cea mai lungă latură a dreptunghiului este AB=8 cm, iar lățimea este BC=5 cm, deci aria dreptunghiului va fi A=L࠰l=AB࠰BC=8 cm x 5 cm=40 cm pătrați.

Cu aceasta am găsit că în punctele de suspensie dedicate răspunsului vom așeza numărul 40 (fără să mai scriem unitatea de măsură, care deja există în enunț).

Suma numerelor întregi din intervalul (-2;2] este egală cu...

Suma numerelor întregi din intervalul (-2;2] este egală cu...

Pentru a putea rezolva această problemă, elevul trebuie să știe ce este un interval, ce înseamnă numere întregi și ce înseamnă sumă. Începem să povestim despre intervale. Noțiunea de interval (gândește-te și la „inter-val”, între valuri) se referă la toate numerele reale posibile aflate între două numere. Având în vedere faptul că între 7 și 8 există și 7,2 și 7,3 și 7,35 și așa mai departe, rezultă că există o infinitate de numere reale între 7 și 8, așa că nu le putem scrie pe toate. Tocmai de aceea s-a inventat noțiunea de „interval”. Ea ne ajută să ne putem referi la toate numerele dintre 7 și 8 printr-o metodă simplă: scriem doar (7;8) și înțelegem că ne referim la toate numerele dintre 7 și 8. Mai mult de atât, dacă jonglăm și cu parantezele pe care le folosim pentru interval putem să spunem și dacă numerele 7 și 8 se află sau nu se află în intervalul nostru. Astfel, dacă folosim numai paranteze rotunde, spunem prin aceasta că numerele 7 și 8 NU se află în intervalul (7;8), dar în acest interval se află orice număr apropiat de 7 și de 8, aflat în dreapta lui 7 și în stânga lui 8. Deci, intervalul (7;8) conține și numerele 7,1 și 7,01 și 7,0001, dar NU îl conține pe 7. În schimb, dacă dorim să-l includem și pe 7 în intervalul nostru, atunci ne folosim de paranteza dreaptă. Așadar, intervalul [7;8) îl conține și pe 7, conține toate numerele dintre 7 și 8, dar nu îl conține pe 8. Mai observați că în partea din stânga intervalului am așezat numărul mai mic, iar în partea din dreapta am așezat numărul mai mare; aceasta este o regulă obligatorie și firească. Cu aceasta consider că sunteți bine puși la punct cu noțiunea de „interval”.

Acum pentru a rezolva problema noastră, mai trebuie să facem o trecere în revistă a numerelor întregi. Numerele întregi sunt cele care nu au virgulă. Nu e o problemă că au minus, important este să nu aibă virgulă, să nu fie fracționare, să fie întregi. De exemplu, numărul 7 este număr întreg (el este și natural), numărul -3 este număr întreg (dar nu este natural), în schimb, numărul 2,8 nu mai este număr întreg, ci este așa-numitul „număr rațional”. Așadar, care sunt numerele întregi din intervalul (-2;2]? Deoarece în dreptul lui -2 este paranteză rotundă, înseamnă că pe -2 nu îl vom lua în considerare, chiar dacă este număr întreg. Deci, primul număr întreg ce se află în intervalul nostru este abia -1 și cu el vom începe calculul sumei cerute. Următorul este 0, apoi 1 și nu ne oprim aici, deoarece în dreptul lui 2 este paranteză dreaptă, deci trebuie să-l luăm în considerare. Astfel, calculul nostru devine: (-1)+0+1+2=2.

Răspuns final: 2.

Dar ce ne făceam dacă ni se cerea suma numerelor întregi din intervalul (-100;100]? Oare trebuia să le adunăm pe rând pe toate numerele întregi din interval și să ne trezim că am pierdut minute bune cu calculul? Desigur, nu. De ce? Deoarece, orice număr natural din intervalul nostru, cu excepția lui 100, are un corespondent opus în interval. De exemplu, numărul 98 are în interval și opusul -98 și noi știm că suma a două numere opuse este nulă, este zero, deci nu contribuie la modificarea sumei finale, sumă care va fi în cazul acesta egală tocmai cu numărul care nu are un opus în interval, deci 100.

Calculați 25% din 100.

Ni se cere să calculăm 25% din 100. Orice procent din 100 este egal cu acel procent. Deci, în cazul nostru, răspunsul este 25. Dacă ar fi cerut 25% din 200, atunci răspunsul era dublul lui 25, căci 200 este dublul lui 100. În altă ordine de idei, 25% din ceva înseamnă un sfert din acel ceva. 50% din ceva înseamnă jumătate din acel ceva. 10% din ceva înseamnă o zecime din acel ceva. De exemplu, dacă ni s-ar fi cerut să calculăm 10% din 80, rezultatul era 8, căci a zecea parte din 80 este 8. Dacă ni s-ar fi cerut să calculăm 20% din 80, atunci rezultatul era dublul lui 10% din 80, căci 20 este dublul lui 10. Și încă ceva: 20% din 80 este ca și 80% din 20, iar această proprietate este valabilă oricând și pentru orice numere. Așadar, dacă veți constata vreodată că ar fi mai ușor să calculați procentul cerut prin comutarea numerelor, atunci nu ezitați să faceți comutarea, pentru că veți obține rezultatul corect și după comutare. De exemplu, dacă vi s-ar cere să calculați 35% din 40, calculele ar putea părea greoaie, așa că mai bine să comutăm. Vom calcula 40% din 35 și vom ține seama de faptul că 10% din 35 este 3,5, iar acest număr va fi înmulțit apoi cu 4, pentru că 40 este de patru ori mai mare decât 10. Așadar, 35% din 40=40% din 35=14.

O listă cu articolele de pe blog, aranjate în ordinea aproximativă a claselor

Despre un generator automat de teste matematice: Pyromaths

Deși știam mai mult de el și l-am abandonat o vreme, revin mereu la gândul că ne-ar putea ajuta aceste generator automat de teste matematice, numit Pyromaths, aflat la adresa: https://www.pyromaths.org/.
Problema este că încă nu s-a diversificat suficient de mult încât să fie o alegere consistentă. Mai mult, încă este numai în limba franceză, cu toate încercările de a fi tradus. Marele plus este că există codul sursă sub licență GPL, deci poate fi modificat până în pânzele albe. Se poate folosi și on-line, dar se poate instala și pe calculatorul personal, unde avem mai multe facilități.

Mă găsiți și pe saitul vreaumate online

De ceva vreme construiesc de zor un nou sait numit vreaumate.online pe care vă invit să aflați lucruri noi despre care n-am apucat să vă vorbesc aici.

Un nou canal de Youtube

Pe noul meu canal de Youtube, asociat noului meu sait vreaumate.online, găsiți filmulețe proaspete în care am început să rezolv testele de antrenament primite de la minister.

Am postat recent și rezolvarea subiectului I și II de la primul test de bacalaureat mate-info.

Azi am înregistrat un filmuleț cu o ședință online de o oră, în care am rezolvat primele două subiecte de la un test de evaluare națională, postat pe saitul ministerului.

Vizionare plăcută!

Mâine vă aștept la o ședință în care voi rezolva o variantă de bacalaureat, în măsura timpului disponibil.

Din nou despre baza de întrebări

Vin să vă reamintesc despre fișierul din Google Sheets pe care l-am denumit „Baza de întrebări”.
Profitați până este gratuit.







În acest fișier veți găsi multe probleme de matematică afișate aleatoriu. Observați că fiecărei probleme îi este asociată o clasă, un tip, o dificultate, timp de rezolvare, domeniu în care se încadrează.

Despre cum îmi ajut elevii de la distanță

Primul pas este să își instaleze aplicația gratuită TeamViewer care le permite să vadă pe ecranul calculatorului lor ecranul calculatorului meu sau invers. Și nu numai să vadă, ci le permite chiar să miște mausul și să scrie de pe tastatura lor în calculatorul meu.

Apoi, după instalare, pornim amândoi aplicația, eu pe calculatorul meu, el pe calculatorul său, iar aplicația generează un cod al calculatorului și o parolă. Dacă dorim ca elevul să vadă calculatorul meu, eu îi trimit elevului prin Messenger sau WhatsApp codul calculatorului meu și parola mea (parola este mereu alta, la fiecare repornire a aplicației).

Din momentul în care elevul introduce în câmpul aplicației codul calculatorului meu și apoi parola, pe ecranul său apare ecranul meu și vede cum mișc mausul meu și poate el să miște mausul meu și poate să scrie pe calculatorul meu (dacă nu intervin eu, desigur).

Eu folosesc o tabletă grafică cu care pot scrie de mână într-o aplicație precum Xournal, iar elevul vede tot ce scriu eu în această aplicație. Dacă, din fericire, are și elevul o tabletă grafică, atunci acesta poate scrie și el în aceeași aplicație, împreună cu mine, la propunerea mea, dacă îl întreb ceva sau dacă îi cer ceva să scrie. Aplicația generează apoi un fișier pdf cu un număr oarecare de pagini pe care i-l pot trimite elevului pentru a-l consulta oricând dorește, pe telefon sau pe calculator.

De asemenea, ne putem auzi dacă ne sunăm printr-o aplicație precum Messenger sau WhatsApp sau prin telefon.

În plus, un lucru foarte important, pe care îl preferă mulți elevi, le pot înregistra un filmuleț cu aplicația pe care o folosesc pe Linux, numită VokoScreen. După înregistrare, îi trimit elevului filmulețul cu extensia mp4 prin Wetransfer, iar filmulețul ajunge pe calculatorul sau pe telefonul elevului și îl poate urmări ori de câte ori dorește și la o viteză aleasă de el.


Acesta a fost doar un exemplu de soluție, pe care o folosesc eu, dar există, desigur, și alte soluții, precum Skype. Doar că Skype nu permite chiar atâtea facilități precum TeamViewer.

Centrul cercului circumscris

Un viitor hit matematic. :) Aveți ocazia să-l auziți în premieră. Are și câteva versuri. Mai lucrez la voce.

Cele mai importante proprietăți ale triunghiului dreptunghic

Începem anul într-o manieră inedită. Mă veți auzi cântând în filmulețul de mai jos, o melodie despre triunghiul dreptunghic oarecare, isoscel și Timaios.

Vă reamintesc aici despre teorema medianei principale (deci, a medianei care pleacă din unghiul drept) și teorema lui Timaios (teorema 30, 60, 90), ambele teoreme spunându-ne cât de importantă este relația dintre mediana principală, respectiv, cateta mică și ipotenuza. Mai exact, mediana principală este jumătate din ipotenuză, iar cateta mică (adică aceea care se opune unghiului mic, de 30 de grade) este și ea tot jumătate din ipotenuză.

Iertați-mi începutul ilariant și sper ca noua abordare să fie mai eficientă decât toate abordările de până acum.

Linii importante într-un triunghi: mediană, bisectoare, înălțime și mediatoare

Am încărcat azi un nou filmuleț pentru voi, în care vă veți face o idee clară despre liniile importante într-un triunghi.

Vizionare plăcută!

Logică matematică, tabele de valori de adevăr, tautologie

În acest filmuleț veți învăța o șmecherie care vă va permite să obțineți ușor valorile de adevăr pentru asemenea tabele din logica matematică. Șmecheria constă în a aduna valorile de adevăr când calculați disjuncția, respectiv, în a înmulți valorile de adevăr când calculați conjuncția.

Logaritmi, o mulțime de proprietăți

Probabil, acesta este unul dintre filmulețele în care vei înțelege cel mai bine logaritmii. Și nu durează 9 minute. O fi un record?

Împărțirea polinoamelor și teorema împărțirii cu rest

Veți găsi în acest filmuleț foarte multă informație despre împărțirea polinoamelor, teorema împărțirii cu rest și despre modul de calcul al acestor împărțiri cu ajutorul calculatorului.

Trei metode pentru calculul determinanților de ordinul trei

Dacă doriți să știți cum se calculează un determinant, veți găsi în acest filmuleț trei metode: Sarrus, triunghiurilor și cea a dezvoltării. Metoda dezvoltării este mai generală și poate fi aplicată pentru determinanți de orice ordin.

Înmulțirea matricelor

Iată un filmuleț în care m-am străduit să vă explic cât mai repede posibil (căci timpul vostru este foarte prețios) cum se face înmulțirea a două matrice. Oare am reușit?

Relația dintre latura pătratului și raza cercului circumscris

Așa cum se arată în filmuleț, dacă am cunoaște lungimea razei cercului circumscris unui pătrat și ne-ar interesa lungimea laturii pătratului, atunci ne-am folosi de formula
$$l_4=R_4\sqrt 2.$$

O minune de foaie de calcul din Geogebra, despre cercul trigonometric.

Suma puterilor cu programul Maxima CAS

Cu Maxima CAS puteți calcula suma puterilor pentru a vă reaminti formulele atunci când le-ați uitat.

O metodă drăguță pentru calcului sumei lui Gauss

Puterea simbolurilor iese în evidență și în metoda pe care v-o prezint în cele ce urmează:

O variantă inedită pentru calculul derivatei funcțiilor trigonometrice

Acest material este mult mai concis și mai greoi. El se adresează numai elevilor mai avansați în ale Matematicii (și le cer iertare acum celor cărora mă adresez de regulă, iertare că nu am fost suficient de explicit și redundant precum o fac în celelalte articole).

Așadar, în acest material voi arăta cum ar putea un elev avansat să determine derivata funcțiilor trigonometrice fără a utiliza limitele.

Pentru aceasta:
Vom presupune cunoscută formula fundamentală a trigonometriei.

Vom face presupunerea că derivatele funcțiilor sinus și cosinus sunt combinații liniare de sinus și cosinus.

Vom presupune cunoscut faptul că derivata este panta dreptei tangente la grafic.

Vom presupune cunoscut faptul că graficul funcției sinus este o sinusoidă.

Despre valorile funcțiilor trigonometrice

Un filmuleț care vă va surprinde plăcut pe cei care nu știați cum să determinați valorile funcțiilor trigonometrice pentru cele mai importante unghiuri.

Versor și apotema unui hexagon regulat

Ce este un versor și cât este apotema unui hexagon regulat în funcție de raza cercului circumscris? Aflați în acest filmuleț.

Semnul funcției de gradul întâi

În acest filmuleț aveți mari șanse să înțelegeți la ce ne referim când vă cerem semnul unei funcții.

Coordonatele mijlocului, sistem, transformare în milimetri, arie romb

Discut în acest filmuleț despre coordonatele mijlocului ca fiind medie aritmetică a capetelor, despre rezolvarea unui sistem, despre transformarea în milimetri și despre aria rombului.

Despre teorema lui Pitagora, asemănării, perimetrul unui romb și aria unui triunghi

Un filmuleț în care găsiți teorema lui Pitagora, asemănării, calculul perimetrului unui romb particular și formula ariei unui triunghi oarecare cu înălțime.

Volum trunchi, proprietatea proporțiilor, perimetrul bazei cilindrului, ...

Iată un filmuleț în care vă reamintesc despre volumul trunchiului de piramidă, proprietatea fundamentală a proporțiilor, perimetrul bazei unui cilindru și radicali dubli.

Proiecție ortogonală, simplificare expresie, centre

Am postat pe Youtube un filmuleț de vreo 12 minute în care puteți înțelege ce este proiecția ortogonală a unui cerc pe o dreaptă, puteți găsi cum se simplifică expresia $$\frac{x^4-1}{x+1}$$ și aflați unde se află centrul de greutate al triunghiului.

Dacă știți trapezul, atunci știți și triunghiul și știți și paralelogramul

Triunghiul este un trapez a cărui bază mică este atât de mică, încât are lungimea nulă, adică are zero metri. Iar paralelogramul este un trapez a cărui bază mică este tocmai egală cu baza mare. Așadar, dacă știți vreo formulă pentru trapez, înseamnă că o știți și pentru triunghi, respectiv, pentru paralelogram.


Haideți să vedem cum. Să presupunem că ați învățat aria trapezului și știți că ea este $$A=\frac{(B+b)\cdot h}{2}$$

Atunci, cum triunghiul este un trapez cu baza mică nulă, adică pentru triunghi b=0, rezultă că aria triunghiului va fi $$A=\frac{(B+0)\cdot h}{2}=\frac{B\cdot h}{2}.$$

Pentru paralelogram facem $b=B$ și obținem $$A=\frac{(B+B)\cdot h}{2}=\frac{2B\cdot h}{2}=B\cdot h,$$ unde am simplificat cu 2.

Desigur, o asemenea relație minunată este valabilă pentru TOATE formulele pe care le cunoașteți despre trapez. De exemplu, poate știți formula liniei mijlocii în trapez. Atunci vă puteți juca cu baza mică pentru a vedea dacă este adevărat și pentru linia mijlocie ceea ce v-am spus mai sus.

Alte minuni create de domnul Sorin Borodi

Domnul Borodi a mai creat niște teste inițiale foarte utile pentru elevi și profesori, pe care le puteți găsi la adresele:

http://sorinborodi.ro/Grila/poti_incepe_____5.htm
http://sorinborodi.ro/Grila/poti_incepe_6.htm
http://sorinborodi.ro/Grila/poti_incepe_7.htm
http://sorinborodi.ro/Grila/poti_incepe_8.htm
http://sorinborodi.ro/Grila/poti_incepe_9.htm


N-am verificat perfecțiunea lor, dar de utilitatea lor sunt absolut convins.

1000 de teste inițiale pentru clasa a VIII-a!

Mamma mia, ce oameni harnici! Ia uitați ce a realizat tipul ăsta, în timp ce eu mă chinuiesc să fac o asemenea bază de date în Google Sheets:

http://www.mateinfo.net/interactiv/gimnaziu/cls08/

Alegeți un număr în baza căruia va fi generat automat un test.

Felicitări realizatorului!

Funcția de gradul al doilea, realizat cu vokoscreen 2018 07 19 09 36 28

Vă salut!

Am creat recent acest filmuleț, în care detaliez câteva proprietăți ale funcției de gradul al doilea.

Vorbesc aici despre modul în care se modifică graficul funcției atunci când se schimbă coeficienții.

Vizionare plăcută!

Un prim filmuleț de când am tableta grafică

Mi-am cumpărat recent o tabletă grafică și mă bate gândul să vă transmit multă informație cu ajutorul ei prin intermediul unor filmulețe cu care să rezolv niște probleme de mate cu lux de amănunte.

Iată, deci, primul asemenea filmuleț, în care vorbesc despre combinări și aranjamente.

Fișierul cu întrebări

Am creat în Google Docs un fișier cu întrebări în special pentru elevii mei de-a cincea, a șaptea și a noua, cărora le predau, dar el poate fi util și altor elevi. 

Fișierul conține întrebări relevante cu care îmi evaluez elevii ori de câte ori consider de cuviință. Vi-l pun la dispoziție și pe această cale și vă sugerez să-l accesați cât mai des. 

La fiecare accesare, fișierul vă arată alte întrebări, stabilite aleatoriu cu ajutorul funcției „rand()”.

Numărul N care apare în anumite întrebări este numărul propriu al fiecărui elev din clasă, pe care îl folosim și la testele personalizate. În general, el poate fi înlocuit cu un număr natural mic.

Vă doresc mult succes în utilizarea acestui fișier!

Cele mai importante formule de calcul prescurtat

Primele formule pe care trebuie să le știe elevul:

Ce fel de numere cunoașteți?

Compararea fracțiilor ordinare

Știm că o fracție ordinară este un număr de forma $\frac 2 3$ (deci, scris cu linie de fracție), spre deosebire de o fracție zecimală, care este un număr de forma $3,12$ (deci, scris cu virgulă).

Fracții cu același numitor (semnul dintre numărători)

Ei bine, putem compara ușor două fracții ordinare dacă acestea au același numitor, adică dacă numărul de jos, de sub linia de fracție este la fel. De exemplu, fracțiile

 $\frac 2 5$ și $\frac 3 5$

se pot compara foarte ușor deoarece au același numitor. Mai precis, pentru a compara două fracții care au același numitor n-avem decât să comparăm numărătorii, căci fracțiile de acest gen cu numărătorul mai mic sunt ele însele mai mici decât fracțiile cu același numitor, dar cu numărătorul mai mare. Așadar, dacă vrem să comparăm fracțiile

 $\frac 2 5$ și $\frac 3 5$,

constatăm că 2<3 și tragem concluzia simplă că acest semn „<” se poate pune și între cele două fracții. Deci, dacă avem că 2<3, atunci avem și că

 $\frac 2 5<\frac 3 5$.

De altfel, cele mai ușor de comparat fracții sunt cele care au același numitor. Ați văzut deja cât de ușor este să comparăm asemenea fracții. Dar, o mică problemă este cu fracțiile care nu au același numitor. Ce ne facem cu asemenea fracții? 

Fracții cu același numărător (semnul invers dintre numitori)

Păi, printre fracțiile care nu au același numitor, există fracții care au măcar același numărător. Haideți să vedem dacă putem compara două fracții care, chiar dacă nu au același numitor, au măcar același numărător. Să zicem că vrem să comparăm fracțiile cu același numărător

 $\frac 5 2$ și $\frac 5 3$.

Cum procedăm? Oare să fie tot așa de simplu, precum a fost la fracțiile cu același numitor? Nici vorbă! Aici lucrurile se schimbă fundamental! Mai exact, semnul acela se inversează cu totul! Deci, deși în cazul nostru avem în continuare că 2<3, totuși semnul dintre cele două fracții se va inversa, pur și simplu, și vom avea 

 $\frac 5 2>\frac 5 3$.

Deci, o mică recapitulare. Dacă două fracții au același numitor, atunci fracția cu numărătorul mai mic este ea însăși mai mică. Iar la fracțiile cu același numărător, fracția cu numitorul mai mic va fi mai mare decât fracția cu numitorul mai mare.

Ei, ce ziceți, suntem gata cu compararea fracțiilor ordinare? Știm să comparăm orice două astfel de fracții? Nicidecum! Ne-au mai rămas de comparat cele mai urâte fracții ordinare, acelea care nu au nici numitorul la fel, dar nici numărătorul la fel. Cum dumnezeu facem cu asemenea fracții? Cum le vom compara? 

Fracții urâte (semnul dintre numărători după amplificare)

Hmmmm... Păi, asemenea fracții nici nu pot fi comparate în forma lor brută. Trebuie să le modificăm cumva ca să le aducem sau la același numitor sau la același numărător. Și dacă tot facem o asemenea modificare, atunci preferăm de regulă să le aducem la același numitor, ca să nu ne încurcăm cu semnul, căci ați văzut că cea mai simplă comparație este la fracțiile cu același numitor.

Bine, bine, dar cum reușim să aducem două fracții la același numitor? Ei, asta nu e o treabă ușoară! Dar nici nu e de speriat. Putem să modificăm numitorul unei fracții fără să greșim, dacă facem ceea ce se numește „amplificarea” fracției, adică dacă înmulțim atât numărătorul fracției, cât și numitorul acestei fracții cu același număr.

De exemplu, dacă amplificăm fracția $\frac 2 3$ cu 7, obținem fracția echivalentă $\frac{2\cdot 7}{3\cdot 7}=\frac{14}{21}$. Așadar, prin amplificarea unei fracții putem să jonglăm cu numitorul ei și îl putem face să devină aproape orice număr dorim noi.

Ei bine, pentru a putea compara două fracții urâte, precum 

 $\frac 7 2$ și $\frac 5 3$,

regula cea mai simplă este să amplificăm ambele fracții cu numitorul celeilalte și atunci vom obține alte două fracții, care sunt respectiv echivalente (egale) cu primele, dar care, din fericire, acum vor avea același numitor și vor putea fi comparate foarte ușor.

Astfel, semnul dintre fracțiile

 $\frac 7 2$ și $\frac 5 3$

va fi același cu semnul dintre fracțiile

 $\frac{7\cdot 3}{2\cdot 3}$ și $\frac{5\cdot 2}{3\cdot 2}$,

deci, dintre fracțiile

 $\frac{21}{6}$ și $\frac{10}{6}$.

Astfel, din două fracții urâte, respectând regula amplificării, am obținut cele mai frumoase fracții, adică acelea care au același numitor. Deci, cum 21>10, obținem că 

 $\frac{21}{6}>\frac{10}{6}$,

de unde rezultă în sfârșit că și 

 $\frac{7}{2}>\frac{5}{3}$.

Așadar, în rezumat, dacă doriți să comparați două fracții urâte, întâi trebuie să le faceți frumoase prin amplificare și abia apoi le veți putea compara cu adevărat.