Mate-info 2016, subiectul III, problema 1a

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$,  $f(x) =e^x-\frac 1 2 x^2 - x-1$.

Arătați că $f^\prime(x) =e^x-x-1$. 

De obicei, problemele de la subpunctul a sunt mai ușoare. Și aceasta este ușoară. Avem de calculat derivata unei funcții destul de simple, o funcție care conține trei termeni.

Derivata unei sume (sau, bineînțeles, diferențe) de trei termeni se reduce la o sumă de trei derivate. Mai exact, $$\color{blue} {(f+g+h)^\prime=f'+g'+h'}.$$

Mate-info 2016, subiectul II, problema 2c

Se consideră polinomul $f=X^3 - 5X+a$,  unde $a$ este un număr real. 

Demonstrați că polinomul $f$ are cel mult o rădăcină în mulțimea numerelor întregi.

Ei? Asta da, asta deja este o problemă ce dă oarece bătăi de cap. Cum dumnezeu să demonstrăm că polinomul dat are cel mult o rădăcină întreagă, că în liceu nu se învață nimic asemănător, nicio regulă care să ne ducă pe o cale regală către o asemenea demonstrație? Atunci ce trebuie să facă elevul?

Mate-info 2016, subiectul II, problema 2b

Se consideră polinomul $f=X^3 - 5X+a$,  unde $a$ este un număr real. 

Determinați numărul real $a$ pentru care $x_1^3 +x_2^3+x_3^3=2016-4a$, unde $x_1$, $x_2$ și $x_3$ sunt rădăcinile polinomului $f$.

Ce sunt rădăcinile unui polinom? Sunt acele numere care anulează funcția polinomială asociată polinomului dat. Așadar, dacă înlocuim pe $x$ cu o rădăcină (să zicem, cu $x_1$), obţinem rezultatul zero. Adică, $$f(x_1) =0.$$

Mate-info 2016, subiectul II, problema 2a

Se consideră polinomul $f=X^3 - 5X+a$,  unde $a$ este un număr real. 

Arătați că $f(0)=a$.

Vai, dar ce grea este problema asta! Vedeți câtă grijă are examinatorul? Are grijă să ne mai și odihnim între timp. Problema asta este pentru odihnă și pentru recuperarea timpului.

Oricărui polinom i se asociază o funcție polinomială. Polinomului nostru i se asociază funcția $f(x) =x^3 - 5x+a$. Sper că ați observat deosebirea dintre polinom și funcția polinomială, deosebirea dintre majuscula $X$ și minuscula $x$. Iată că în matematică trebuie să fim atenți chiar și la asemenea chestii.

Așadar, pentru a calcula $f(0)$, va trebui ca în funcția polinomială atașată polinomului nostru să-l înlocuim pe $x$ cu $0$. Obținem, deci, $$\color {red} {f(0)} =0^3 - 5\cdot 0+a=0-0+a=\color{red} {a},$$ ceea ce trebuia demonstrat. 

Mate-info 2016, subiectul II, problema 1c

Se consideră matricea $A(x) =\left(\begin{array}{ll} 1&x&0\\ 0&1&0\\ 0&0&2^x\\ \end{array} \right)$, unde $x$ este un număr real.

Știind că $A(n)=A(1)\cdot A (2)\cdot A (3)\cdot\dots\cdot A (2016)$, demonstrați că $n$ este număr natural divizibil cu $2017$.

Elevul concentrat și eliberat deja de emoția începutului de examen, se va gândi că ar trebui să fie o legătură între numărul $2016$ și $2017$. Apoi, gândind că aceste numere sunt alese la întâmplare, în funcție de anul curent, va conștientiza că trebuie să caute o metodă generală pentru a găsi soluția, o metodă independentă de aceste numere.

Mate-info 2016, subiectul II, problema 1b

Se consideră matricea $A(x) =\left(\begin{array}{ll} 1&x&0\\ 0&1&0\\ 0&0&2^x\\ \end{array} \right)$, unde $x$ este un număr real.

Determinați numerele reale $x$, știind că $A(x)\cdot A(2x)=A(x^2+2)$.



Când trebuie să găsim necunoscute înseamnă că trebuie să ajungem cumva la o ecuație (de gradul întâi sau al doilea) care conține acele necunoscute. Altfel spus, noi vrem să scăpăm de litera $A$. Mai neriguros spus, vrem să "simplificăm" cu litera $A$.


Pentru a scăpa de litera $A$ va trebui să facem înmulțirea din partea stângă a egalității. Avem de făcut înmulțirea: $$A(x)\cdot A(2x)=\left(\begin{array}{ll} 1&x&0\\ 0&1&0\\ 0&0&2^x\\ \end{array} \right)\cdot \left(\begin{array}{ll} 1&2x&0\\ 0&1&0\\ 0&0&2^{2x}\\ \end{array} \right).$$

Mate-info 2016, subiectul II, problema 1a

Se consideră matricea $A(x) =\left(\begin{array}{ll} 1&x&0\\ 0&1&0\\ 0&0&2^x\\ \end{array} \right)$, unde $x$ este un număr real.

Arătați că $\det(A(10))=1024$.

Dacă ați citit cu atenție articolul în care vă arătam cum un determinant de ordinul trei se poate scrie ca trei determinanți de ordinul doi, atunci problema este ca și rezolvată, căci acolo veți afla că putem dezvolta determinantul după prima coloană și obținem: $$\det (A(10))=\left|\begin{array}{ll} 1&10&0\\ 0&1&0\\ 0&0&2^{10}\\ \end{array} \right|=\left|\begin{array}{ll} 1&0\\ 0&2^{10}\\ \end{array} \right|=2^{10}=\color{red}{1024}.$$

Dar dacă n-ați apucat încă să citiţi cu atenție articolul spre care v-am îndrumat, din cine știe ce motive omenești și firești,  atunci poate veți găsi ceva chef să citiți cu atenție articolul în care v-am descris regula lui Sarrus. 

Mult succes! 

Mate-info 2016, subiectul I, problema 6

Calculați lungimea razei cercului circumscris triunghiului $ABC$ în care $A=\frac{3\pi} {4}$ și $BC=\sqrt 2$.

La ce vă gândiți automat în momentul în care auziți de "raza cercului circumscris"?  Nu știu la ce vă gândiți voi, dar eu mă gândesc întâi la teorema sinusurilor.

Teorema sinusurilor este un șir de egalități care conțin sinusurile (nu pe cele nazale, ci pe cele unghiulare  😊 ).

Ea se poate scrie sub forma:   $$\color{blue} {\frac {BC} {\sin A}=\frac {AC} {\sin B}=\frac{AB} {\sin C}=2R}.$$

Mate-info 2016, subiectul I, problema 5

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(-1,0)$, $B(1,0)$ și $C(1,4)$. Determinați ecuația dreptei care trece prin punctul $B$ și este paralelă cu mediana din $A$ a triunghiului $ABC$.

Se cere ecuația unei drepte. Și se dau niște puncte, cu coordonatele lor. Deci, suntem la geometrie analitică. Ne gândim ce știm despre ecuația dreptei în geometria analitică. Ne amintim ce este mediana. Ne gândim ce știm despre paralelism în geometria analitică. Avem cam zece minute de problemă. Ne apucăm de treabă relaxați și calmi. Facem un pic de ordine în haosul aparent. Ce avem de găsit întâi?

Mate-info 2016, subiectul I, problema 4

Calculați probabilitatea ca, alegând o submulțime a mulțimii $A=\{\sqrt 1,\, \sqrt 2, \,\sqrt 3, \,\sqrt 4, \,\sqrt 5, \,\sqrt 6 \}$,  aceasta să aibă cel mult două elemente. 

Să facem, pentru început, o oarecare introducere în lumea probabilităților.

Probabilitatea este un număr. Un număr cuprins între zero și unu, inclusiv. Probabilitatea ne arată cât de des se întâmplă ceva ce ne interesează. De exemplu, dacă ne interesează cât de des apare fața pe care se află numărul doi de la un zar cu șase fețe (căci pot exista și zaruri cu patru fețe (cum ar arăta un zar cu patru fețe?) sau cu opt fețe), atunci teoria probabilităților ne spune că feței cu numărul doi îi este asociată probabilitatea $\frac{1 }{6}$, adică undeva la $0,1666$. 

Mate-info 2016, subiectul I, problema 3

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\left(\frac{1}{2}\right)^{4x-9}=32^x$.

Atunci când necunoscuta $x$ a unei ecuații apare la exponent, se spune despre acea ecuație că este ecuație exponențială. Deci, ecuația dată este o ecuație exponențială.

Ecuațiile exponențiale sunt mai blânde decât alte ecuații pentru că ele nu necesită condiții de existență. Altfel spus, la exponentul unui număr real putem pune orice alt număr real, căci tot număr real vom obține la rezultat, dacă baza puterii este deja fixată (baza trebuie să fie un număr real pozitiv și diferit de unitate).

Mate-info 2016, subiectul I, problema 2

Determinați numărul real $m$, știind că parabola asociată funcției $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $x^2-2x+m$ este tangentă axei $Ox$.

Când vede această problemă elevul trebuie să își amintească în care caz parabola asociată funcției de gradul doi este tangentă axei $Ox$. Există un singur caz în care funcția de gradul doi poate fi tangentă axei $Ox$. Un singur caz!

A fi tangent înseamnă "a atinge". Deci, căutăm situația în care parabola atinge axa $Ox$. Iar a atinge înseamnă "a tăia într-un singur punct".

Dar ce ne facem dacă nu ne amintim din prima cazul în care parabola atinge axa? Păi, tatonăm, bâjbâim, încercăm să ne amintim cât mai multe lucruri despre funcția de gradul doi, despre parabola acesteia.

Mate-info 2016, subiectul I, problema 1

Determinați numărul real $x$ știind că numerele $7$, $3x$ și $x^2+2$ sunt, în această ordine, termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.

Așa cum v-am povestit într-un articol precedent în care am scris despre progresii aritmetice, când este vorba despre "termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice" înseamnă că este vorba de regulă de TREI termeni ai unei progresii aritmetice, termeni care vin frumos, ordonat, unul după celălalt. Iar atunci când este vorba despre trei termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice, trebuie să vă amintiți automat de faptul că termenul din mijlocul celor trei este tocmai media aritmetică a vecinilor săi.

Pentru viitor

Dat fiind faptul că, din câte am înțeles eu, elevii se sfiesc să interacționeze live cu mine sau sunt mulțumiți de ceea ce scriu deja, pe viitor mă gândesc să scriu mai des și mai puțin și să încep să rezolv în stilul meu (adică, cu acel lux de amănunte nebunesc pe care îmi place mie să vi-l pun la dispoziție) toate variantele de matematică ce s-au dat vreodată la bacalaureat.

De exemplu, aș putea începe prin a rezolva ultima variantă de bacalaureat care s-a dat anul acesta. După care aș putea începe să prezint rezolvarea tuturor variantelor pe care le găsesc pe net.

Chat prin IRC cu elevii

Am găsit o modalitate superbă de a dialoga cu voi. Pe saitul oamenilor harnici de la KiwiIRC am găsit un element de chat drăguț, încorporabil în sait și l-am atașat în coloana din dreapta pe blog.

Sâmbătă, 16 iulie, de la ora 22 la ora 23 mă voi loga în acest chat și vă invit și pe voi să dialogăm despre probleme de matematică pentru începători.

Am oarece emoții, dar vă aștept cu drag întrebările. Eu mă voi loga cu numele „abel_cavasi”.



Editare ulterioară (destul de târzie...):
Cei care doresc să se conecteze de pe clienţi IRC dedicaţi (ex. mIRC, X-Chat) parametrii de conectare sunt /server irc.freenode.net 6667 şi /join #matematica_pentru_incepatori



Editare în 17 iulie 2016, ora 2007:
Din păcate, din cine știe ce motive (probabil vacanța), elevii nu s-au conectat la chat. Așa că rămâne pe altă dată.

Progresii aritmetice

Progresia aritmetică este un $\textit{șir}$ de numere. Dar nu orice șir de numere, ci unul foarte special. Și anume, un șir de numere care „merg din câtva în câtva”, prin adunare. (Cele care merg prin înmulțire se numesc „progresii $\textit{geometrice}$”.)

De exemplu, șirul de numere $3,5,7,9,\dots$ este o progresie aritmetică de numere care merg din doi în doi. Acest „doi” se numește $\textit{rația}$ progresiei aritmetice. Dacă știm rația unei progresii aritmetice, atunci știm aproape totul despre ea.

Am spus „aproape totul” pentru că există de exemplu și alte progresii aritmetice care merg din doi în doi, dar care sunt, totuși, diferite de această progresie dată ca exemplu mai sus. Un asemenea exemplu diferit de progresie aritmetică din doi în doi este $2,4,6,8,\dots$. Vedeți că și această progresie aritmetică merge din doi în doi, doar că ea $\textit{nu începe}$ la fel ca progresia precedentă.

Prima sesiune de probleme

În articolele de acest gen voi prezenta rezolvarea problemelor pe care le propuneți voi înșivă prin comentariile voastre din subsolul articolelor. 

Așadar, comentați voi la acest articol, adăugând lincuri spre o problemă de bacalaureat sau de evaluare națională pe care doriți să o găsiți aici rezolvată.

Problema trebuie să fie bine formulată, ca să fie pe înțelesul meu (considerați că nu sunt atât de deștept încât să vă pot citi gândurile, deși nu este exclus asta întotdeauna :)  ). 

Felicitări pentru diagramă!

Vreau să-l felicit cu această ocazie pe autorul diagramei buclucașe care a dus la scandalul recent în legătură cu problema 6.

Dacă numărul elevilor ar fi fost pe orizontală, ar fi însemnat că în acea clasă sunt în total 3+4+5+6+7+8+9+10 elevi. Unde ați văzut voi clase atât de mari? În schimb, dacă numărul elevilor este pe verticală, atunci clasa are 1+2+3+6+7+5+3+3 elevi; mult mai plauzibil.

De asemenea, ar fi însemnat că 3 elevi au luat nota 1 și nici un elev n-a luat notă mai mare de 7. Absurd și asta.

Sau încă, și mai absurd: dacă numărul elevilor ar fi fost pe orizontală, atunci cum s-ar fi putut stabili câți elevi au luat nota 3? Nicicum.

În fine, dacă notele ar fi fost pe verticală, ar fi însemnat că există și nota zero, ceea ce contravine regulamentelor (pe care elevii ar trebui să le cunoască).

Iată, deci, patru modalități prin care ar fi putut raționa fără dubii un elev care ar fi vrut să dea un răspuns corect.