Limite de fracții în cazul zero pe zero

Desigur că titlul este oarecum vag, deoarece putem face fracție cu orice funcție. De exemplu, putem scrie că $f(x)=\frac{f(x)}{1}$ și asta ar însemna că articolul nostru ar trebui să discute despre orice fracție posibilă.

Desigur, nu-i chiar așa, iar un începător nu va fi atât de pretențios. Dimpotrivă, când va auzi „limite de fracții” el se va gândi că este vorba despre limite cu fracții polinomiale. Și va avea dreptate. Căci asemenea limite merită o discuție separată.

Așadar, dăm întâi un exemplu de limită cu fracție polinomială
$$\lim_{x\to 5}\frac{x-6}{2x-7},$$
ca să ne asigurăm că elevul înțelege bine la ce fel de fracții ne referim.

Limita dată în exemplul nostru este simplă și se poate calcula ușor prin înlocuirea lui $x$ cu 5. Dar există probleme atunci când ajungem la cazuri exceptate, precum $\frac{\infty}{\infty}$ sau $\frac{0}{0}$ despre care am povestit în articolul precedent. Noi aici ne vom ocupa deocamdată doar cu acest ultim caz exceptat, $\color{red}{\frac{0}{0}}$.

Să dăm, deci, un exemplu de limită în care apare cazul exceptat $\frac{0}{0}$. Să calculăm, de pildă
$$\lim_{x\to 3}\frac{x^2-7x+12}{x-3}.$$

Observați că dacă înlocuim pe $x$ cu 3 (așa cum se cuvine pentru început), obținem
$$\lim_{x\to 3}\frac{x^2-7x+12}{x-3}=\frac{3^2-7\cdot 3+12}{3-3}=\frac{0}{0},$$
deci caz exceptat.

Ce facem când ajungem la un caz exceptat, vă mai amintiți? Prelucrăm expresia înainte de a face înlocuirea. Bine, bine, dar ce am putea prelucra noi la această expresie?

De regulă, la asemenea limite, numărătorul se împarte exact cu numitorul și rezultă un polinom mai simplu decât numărătorul. Prin împărțire scăpăm de fracție, deci scăpăm și de cazul exceptat. Dacă știți să împărțiți polinoame, atunci puteți face direct împărțirea numărătorului la numitor și obțineți

$\begin{array}{ ll | l }

x^2&-7x+12&x-3 \\
\hline
-x^2&+3x &\color{red}{x-4}\\
\hline
=&\underline{-4x+12}&\\
&\underline{+4x-12}&\\
&=====&\\
\end{array}$.

Dacă nu vă mai amintiți cum se face împărțirea polinoamelor, atunci trebuie să vă amintiți măcar următoarea șmecherie cu factorul comun prin care trebuie să facem ceva cu numărătorul în așa fel încât să aibă legătură cu numitorul. Mai exact, scriem numărătorul astfel

$$x^2-7x+12=x^2-3x-4x+12=x(x-3)-4(x-3).$$

Observați că am prelucrat numărătorul în așa fel încât să dăm factor comun și să apară numitorul în paranteze. Astfel, mai dăm o dată factor comun tocmai numitorul și obținem

$$x^2-7x+12=x(x-3)-4(x-3)=(x-3)\color{red}{(x-4)}.$$

O altă șmecherie pe care o puteți folosi este să căutați rădăcinile polinomului de la numărător. Cum polinomul de la numărător are gradul doi, putem calcula delta

$$\Delta=(-7)^2-4\cdot 1\cdot 12=49-48=1.$$

Atunci, rădăcinile vor fi

$$x_{1,2}=\frac{-(-7)\pm\sqrt{1}}{2\cdot 1},$$

deci $x_1=3$ și $x_2=4$. În acest caz, rădăcinile ne spun că polinomul nostru de gradul doi $x^2-7x+12$ poate fi scris ca un produs de polinoame de gradul întâi

$$x^2-7x+12=(x-3)(x-4).$$

Dacă nu știți nici împărțirea polinoamelor, nici șmecheria cu factorul comun și nici măcar legătura dintre rădăcinile unui polinom și descompunerea acestuia în paranteze, dar vă mai amintiți, totuși, regula lui l'Hôpital, atunci sunteți câștigați, căci cu această regulă puteți calcula orice limite de fracții polinomiale. Problema este că regula lui l'Hôpital poate fi folosită doar atunci când este permisă utilizarea derivatei (cum este cazul la bac), iar derivatele se învață după limite, căci însăși derivata este o limită. Așa că, până la urmă, va trebui să învățați împărțirea polinoamelor, șmecheria cu factorul comun sau descompunerea cu parantezele.

Așadar, presupunând că printr-una dintre metode am reușit să obținem rezultatul împărțirii polinomului de la numărător cu polinomul de la numitor, am ajuns în situația în care putem scrie

$$\lim_{x\to 3}\frac{x^2-7x+12}{x-3}=\lim_{x\to 3}(x-4)=3-4=-1,$$

acesta fiind răspunsul căutat în cazul limitei noastre.