Reducerea la primul cadran

Într-un material alăturat, numit „Tabelul trigonometric” prezentam cele mai importante lucruri despre primul cadran și spuneam că primul cadran conține numai unghiurile ascuțite, deci pe cele mai mici de 90 de grade. A venit vremea să discutăm și despre valorile trigonometrice ale unghiurilor mai mari decât 90 de grade. 

Vom vedea că pentru a găsi funcțiile trigonometrice corespunzătoare unghiurilor mai mari de 90 de grade va fi suficient să le folosim pe cele din primul cadran, cu niște semne modificate.

Trecerea de la cadranul II la cadranul I

Să începem întâi cu cadranul II. De exemplu, alegem unghiul de 120 de grade. Chiar dacă acest unghi este mai mare decât 90 de grade, are și el un sinus și un cosinus, deci are și tangentă și cotangentă. Vrem să determinăm valorile acestora și vrem să arătăm că există o legătură între valorile din cadranul II și cele din cadranul I. Altfel spus, dacă știți bine valorile din cadranul I, atunci puteți ști și valorile din cadranul II, învățând în plus formulele de trecere de la cadranul II la cadranul I.

Vom arăta mai jos cum apar aceste formule de trecere. Pentru aceasta, ca să ajungă în cadranul II, punctul M din desenul nostru trebuie să se deplaseze mai departe în sens trigonometric și trebuie să iasă din cadranul I pentru a ajunge în următorul cadran. Aveți mai jos desenul cu punctul M ajuns la unghiul de 120 de grade.

Arcul galben are 120 de grade, iar arcul albastru are 30 de grade, deoarece 120=90+30. Acum ne interesează cât de lungă este cateta roșie, ea reprezentând tocmai sinusul unghiului de 120 de grade. De asemenea, ne va interesa cât de lungă este cateta verde, ea reprezentând cosinusul unghiului de 120 de grade (cosinușii sunt verzi și mereu paraleli cu axa OX).

Dar putem observa ceva interesant: triunghiul dreptunghic care a apărut în desen ar putea fi rotit cu imaginația spre dreapta cu 90 de grade ca să ajungă în primul cadran. Atunci, cateta roșie ar fi paralelă cu axa OX (deci ar fi un cosinus), iar cateta verde ar fi paralelă cu axa OY (deci ar fi un sinus). Așadar, putem ușor determina lungimile celor două catete din moment ce cunoaștem sinusul de 30 de grade și cosinusul de 30 de grade, unghiul de 30 de grade fiind unghiul din primul cadran. 

Având determinate lungimile, ne mai rămâne să determinăm semnul lor, acesta fiind singurul care ne va face probleme. Dar de ce vorbesc despre probleme cu semnul în al doilea cadran? Că doar n-o fi mare lucru să clarificăm și problema semnelor din al doilea cadran. Haideți să clarificăm, deci, problema semnelor în al doilea cadran.

Ce înseamnă a clarifica problema semnelor? Înseamnă a stabili ce semn are sinusul în al doilea cadran și a stabili ce semn are cosinusul în al doilea cadran. Atât. Păi, ia să vedem. Știm că sinușii sunt verticali, iar cosinușii sunt orizontali. Observăm, deci, cum cateta roșie corespunzătoare unghiului de 120 de grade se află deasupra axei OX, acolo unde sunt încă valori pozitive pentru y, deci pentru sinuși. Așadar, în al doilea cadran sinusul este încă pozitiv, chiar dacă începe să scadă de la valoarea 1 către valoarea 0.

În schimb, cosinusul corespunzător unghiului de 120 de grade, fiind orizontal, se află în partea stângă a axei OY, deci este în zona valorilor negative. Așadar, în al doilea cadran cosinusul este negativ. 

Observați cu această ocazie că, în general, pe măsură ce punctul M se plimbă pe cerc de colo-colo, sinusul se poate afla numai în două poziții posibile, deasupra sau dedesubtul axei OX, iar cosinusul se poate afla și el numai în două poziții posibile, la dreapta sau la stânga axei OY. Aceste poziții vor determina fără dubiu semnul celor două funcții trigonometrice: sinusul aflat deasupra axei OX este pozitiv, iar cosinusul aflat în dreapta axei OY este pozitiv.

Dar nu avem încă ceea ce ne trebuie pentru unghiul de 120 de grade. Cu toată vorbăria noastră prelungită, încă nu am stabilit clar cât este sinusul și cât este cosinusul acestui unghi interesant. Așadar, suntem nevoiți să facem un rezumat al celor povestite, ca să vedem ce valori au funcțiile trigonometrice corespunzătoare unghiului de 120 de grade. Ne trebuie semn și valoare. Începem cu sinusul.

Am zis că sinusul este deasupra, deci are semnul pozitiv. Valoarea. De asemenea, am mai zis că valoarea sinusului de 120 e grade este exact ca și valoarea cosinusului de 30 de grade, căci prin rotația spre dreapta (deci, în sens invers trigonometric a) triunghiului format, cu 90 de grade, obținem un triunghi răsturnat și cu catetele egale în primul cadran. Putem scrie, deci, că

$$\sin 120=\sin(90+30)=\cos 30.$$

Cum, în loc de 30 putem să punem orice valoare (care să producă un unghi aflat în cadranul II, desigur), vom putea scrie formula generală

$$\color{red}{\sin(90+x)=\cos x}.$$

Această relație ne spune cât va fi sinusul unui unghi din cadranul II atunci când (se presupune că) cunoaștem (bine de tot) funcțiile trigonometrice din cadranul I. 

Să vedem acum cât va fi cosinusul unui unghi din cadranul II.

Din răsturnarea triunghiului am văzut că sinusul se transformă în cosinus, iar cosinusul se transformă în sinus. Așadar, valoarea cosinusului din cadranul II va fi egală cu sinusul din cadranul I, atâta doar că în cadranul doi cosinusul trebuie să fie negativ, deci vom pune semnul minus în față. Așadar,

$$\cos 120=\cos(90+30)=-\sin 30$$

În general, vom avea pentru cosinusul din cadranul II

$$\color{limegreen}{\cos(90+x)=-\sin x}.$$

Acum doresc să vă atrag atenția asupra unui lucru foarte interesant care ne va fi de un folos nemaipomenit în cele ce urmează. Observați că sinusul s-a transformat în cosinus, iar cosinusul s-a transformat în minus sinus. Nu vi se pare ceva cunoscut? Cum să nu? Dacă știți derivate, știți că sinus derivat este cosinus, iar cosinus derivat este minus sinus. Așadar, dacă știți derivate, atunci știți să obțineți ușor funcțiile trigonometrice din al doilea cadran, făcând șmecheria că prin derivare se scad 90 de grade din unghi.

Trecerea de la oricare cadran la cadranul I

Dar matematica este și mai frumoasă de atât! Regula asta cu derivarea este valabilă pentru oricare dintre cele patru cadrane! Ce dumnezeu vreau să spun aici? Vreau să spun că în oricare dintre cele patru cadrane vă aflați, dacă doriți să ajungeți la cadranul I, derivați de atâtea ori de câte ori trebuie pentru a scăpa de câte un 90 de grade. La fiecare derivare SE SCAD 90 de grade din unghi. Sau, poate vă place mai mult integrarea (deși mă îndoiesc :) ). 

Dacă vă place mai mult integrarea, atunci respectați regula opusă: la fiecare integrare SE ADUNĂ 90 de grade la unghi. Integrarea este utilă, de exemplu, atunci când vreți să treceți de la cadranul patru la cadranul unu și nu aveți chef să derivați de trei ori, ci mai degrabă preferați să integrați o singură dată, pentru a aduna 90 de grade și pentru a obține astfel un unghi mai mare de 360 de grade, dar aflat în primul cadran (căci adunând sau scăzând 360 de grade este ca și cum am sta pe loc).

Cunoscând cum trece sinus și cosinus de la un cadran la altul, puteți afla ușor și tangenta și cotangenta, din moment ce tangenta este sinus supra cosinus, iar cotangenta este inversa tangentei.

Exemplu

Ei, ce părere aveți, v-ați lămurit cum e cu trecerea asta de la un cadran la altul? Sunteți pregătiți de un exemplu? Ia să vedem. Vrem să găsim sinus de 240 de grade. Desigur, 240 este mai mare decât 90, deci putem aplica derivarea ca să dispară 90 de grade din unghi. Deoarece noi știm că sinus derivat este cosinus, avem că $\sin 240=\cos(240-90)=\cos 150$. Deci, am scăpat de cadranul III și am ajuns în cadranul II, mai aproape de casă (deci, mai aproape de cadranul I) :) .

Acum suntem ca și în situația în care exemplul nostru ar fi început cu determinarea lui $\cos 150$. Aplicăm, așadar, pasul de derivare a lui cosinus. Cosinus derivat este minus sinus. Așadar, $\cos 150=-\sin(150-90)=-\sin 60$. Iată, deci, că prin două derivări succesive, am ajuns de la cadranul III la cadranul I și am obținut rezultatul final că $\color{blue}{\sin 240=-\sin 60}$, reducând astfel problema din cadranul III la cadranul I.

Deci, să nu uitați niciodată șmecheria asta cu derivarea! Ea vă va ajuta enorm ori de câte ori veți avea nevoie de funcțiile trigonometrice ale unghiurilor mari. Demonstrația riguroasă a acestei șmecherii ține de proprietățile remarcabile ale numerelor complexe.