Ce este factorul comun?

Mulți elevi n-au înțeles esența factorului comun. De aceea, mi-am propus ca în acest material să stopez această nedreptate. Elevii au dreptul să știe ce este și cum se operează cu factorul comun! :)

În primul rând, să vedem ce este factorul. Apoi vom vedea de ce este comun. Pentru aceasta vom analiza expresia 8+20-12. Această expresie conține numai termeni, căci adunarea și scăderea leagă expresii care se numesc termeni. Dar fiecare termen în parte (poate) conține factori. Factorii sunt expresii legate prin înmulțire sau împărțire.

De exemplu, primul termen al expresiei noastre este 8. Acest termen poate fi scris ca un produs (produsul este rezultatul înmulțirii) de factori, adică 8=2∙4. Aici 2 și 4 sunt factori, deoarece ei sunt legați prin înmulțire. Desigur, am fi putut să-l scriem pe 8 și sub altă formă ca un produs de factori; de exemplu, am fi putut să-l scriem ca fiind 8=1∙8 sau chiar am fi putut să scriem 8=(-4)∙(-2). Eu am ales să-l scriu pe 8 ca un produs între 2 și 4 tocmai pentru că am anticipat că factorul 4 va apărea și în următorii termeni.

Deci, așa va trebui să procedați și voi atunci când veți avea de rezolvat probleme cu factori comuni, adică va trebui să faceți descompunerea convenabilă a unui termen în factori în așa fel încât să puteți extrage, după cum vom vedea mai jos, factorul comun.

Revenim atunci la al doilea termen al expresiei noastre și anume la 20, care poate fi scris și el sub formă de produs de factori: 20=5∙4. Am fi putut, desigur, să-l scriem și pe 20 sub forma 20=2∙10 sau 20=1∙20 sau 20=(-10)∙(-2), dar noi alegem forma convenabilă 20=5∙4.

În fine, ultimul termen, care este -12, poate fi scris și el în mai multe forme, dar nouă ne convine numai forma -12=-3∙4.

Să vedem acum dacă ne este mai ușor să înțelegem ce înseamnă factor comun. Am văzut că termenii expresiei inițiale pot fi descompuși fiecare în câte doi factori. Așadar, întreaga expresie poate fi scrisă din nou sub forma

8+20-12=2∙4+5∙4-3∙4.

Nu este mare filozofie să observăm că numărul 4 apare în fiecare dintre cei trei termeni ai expresiei date, adică el este comun tuturor celor trei termeni. Din acest motiv, se poate spune că 4 este factor comun pentru expresia dată.

Odată ce am descoperit (să recunoaștem, cu o oarecare greutate), din mulțimea de posibilități, factorul comun al unei expresii, nu ne mai rămâne decât să înțelegem care este rolul său. De ce se face atâta tam-tam în jurul factorului comun? Păi, factorii comuni sunt foarte utili în matematică. Ei ne ajută să simplificăm expresiile. Datorită factorului comun observat, expresia noastră devine 8+20-12=2∙4+5∙4-3∙4=(2+5-3)∙4. Sper că sunteți de acord cu mine că e mai ușor să calculăm întâi cât este 2+5-3, după care să înmulțim rezultatul cu 4, decât să facem operații de adunare și scădere cu numere de două cifre.

Această proprietate remarcabilă a înmulțirii de a permite simplificarea expresiilor care conțin factor comun se numește distributivitate. Așadar, înmulțirea (și împărțirea) este distributivă față de adunare (și față de scădere). Exemple de acest tip mai sunt:

5∙(1+2)=(1+2)∙5=1∙5+2∙5=5∙1+5∙2,

5∙(1-2)=(1-2)∙5=1∙5-2∙5=5∙1-5∙2,

(20+16):4=20:4+16:4,

(20-16):4=20:4-16:4,

în care am exemplificat distributivitatea înmulțirii și a împărțirii față de adunare și față de scădere.

Dar enorma utilitate a factorului comun iese în evidență mai ales atunci când operăm cu fracții complicate, cu numărătorul și numitorul foarte complicat. Dacă se întâmplă ca atât numărătorul unei asemenea fracții să aibă factor comun, cât și numitorul să aibă factor comun și dacă, pe deasupra, mai avem și bucuria că cei doi factori comuni sunt egali, atunci fracția dată devine mult mai simplă decât fracția inițială, căci cei doi factori comuni pot fi simplificați. De altfel, tocmai așa (și numai așa!), deci, prin folosirea factorului comun, facem simplificările fracțiilor.

Tocmai de aceea, pe viitor, atunci când lucrați cu expresii matematice, formați-vă ochiul să observe rapid dacă și unde ar putea fi vreun factor comun în expresia dată, căci un asemenea obicei bun vă poate scuti de multă muncă.

Și încă ceva! În expresia 8+20-12 puteam să dăm ca factor comun și pe 2, căci fiecare termen din expresie este divizibil (se poate împărți exact) cu 2. Tocmai de aceea, alegerea factorului comun este o artă pe care dacă o stăpâniți bine, vă va ajuta să găsiți ușor rezolvarea a multor probleme de matematică. De regulă, ne străduim să alegem cel mai mare factor comun posibil, dar sunt situații când preferăm să alegem un factor comun mai mic, care evidențiază diverse simplificări.