Vreau să vă arăt în materialul de față că există o legătură foarte strânsă între aria triunghiului și aria trapezului. În sensul că dacă deja cunoașteți aria trapezului, dar nu vă amintiți aria triunghiului (ceea ce este destul de improbabil), atunci automat vă veți da seama cât este aria triunghiului dacă vă imaginați că și triunghiul este un trapez, doar că baza mică a triunghiului este nulă, egală cu zero.
Invers, dacă știți cât este aria triunghiului, dar nu știți cât este aria trapezului (ceea ce este mult mai probabil, deoarece aria triunghiului este mai simplă decât aria trapezului), atunci imaginați-vă că trapezul este un triunghi mare căruia vântul i-a retezat „acoperișul”, unde „acoperișul” este un alt triunghi mai micuț. Așadar, în acest caz, aria trapezului este dată de aria triunghiului mare minus aria triunghiului mic.
Desenul corespunzător este
.
Triunghiul mic are înălțimea mică egală cu i (cea colorată în albastru), trapezul are înălțimea h (cea colorată în roșu), iar triunghiul mare are înălțimea I dată de suma celor două înălțimi, adică I=i+h.
Să vedem cum obținem aria trapezului, când cunoaștem bazele triunghiurilor (B mare și b mic) și înălțimile lor. Știm că aria triunghiului mare este $$A_{mare}=\frac{BI}{2}$$.
Mai știm că aria triunghiului mic este $$A_{mic}=\frac{bi}{2}$$.
Atunci aria trapezului va fi aria triunghiului mare din care scădem aria triunghiului mic, că vântul și-a făcut de cap și a îndepărtat „acoperișul” :) . Așadar, avem $$A_{trapez}=\frac{BI}{2}-\frac{bi}{2}.$$
Dar știm că I=i+h, așadar $$A_{trapez}=\frac{BI}{2}-\frac{bi}{2}=\frac{B(i+h)}{2}-\frac{bi}{2}=\frac{Bi}{2}+\frac{Bh}{2}-\frac{bi}{2}.$$
Atât. De aici încolo, oricât ne-am juca cu aceste relații nu vom putea obține niciodată formula ariei trapezului! Oricum am înlocui și am dezlocui pe I cu i+h sau mai știu eu ce alte încercări ați vrea voi să faceți, nu vom reuși să ducem la capăt dorința noastră de a găsi aria trapezului.
De ce, oare? Pentru că ne lipsește încă o informație prețioasă, pe care n-am exprimat-o încă în formule. Și anume, n-am exprimat în formule faptul că baza b este paralelă cu baza B! Dacă nu exprimăm și această relație, atunci este ca și cum am permite ca „acoperișul” trapezului să fi fost strâmb, oblic, ceea ce este inadmisibil pentru trapez. Trapezul are bazele strict paralele.
Așadar, pentru a obține formula ariei trapezului, va trebui să folosim cumva și această informație indispensabilă, altfel matematica ne va spune mereu că nu știe să ne dea formula pe care o dorim. Să vedem ce putem face în acest caz. Să vedem cum putem transforma (informația calitativă privind) paralelismul bazelor într-o informație cantitativă pe care să o putem folosi la calculul ariei trapezului. Pentru aceasta trebuie să observăm că bazele paralele determină faptul că triunghiul mare este asemenea cu triunghiul mic.
Asta înseamnă că raportul dintre o latură a triunghiului mic și o latură a triunghiului mare este la fel ca și raportul dintre o altă latură a triunghiului mic și o altă latură corespunzătoare a triunghiului mare. În cazul nostru, asta înseamnă că raportul dintre baza mică și baza mare este la fel ca și raportul dintre înălțimea mică și înălțimea mare. Mai exact, avem $$\frac{b}{B}=\frac{i}{I}.$$
Dar aceasta este o proporție (deci, o egalitate de fracții). Asta înseamnă că produsul mezilor este egal cu produsul extremilor. Prin urmare, avem în sfârșit relația indispensabilă pe care am așteptat-o cu nesaț:
$$\color{red}{Bi=bI}.$$
De aici încolo totul decurge liniștit. N-avem decât să înlocuim în formula ariei, obținută mai sus, pe Bi cu bI, deci cu b(i+h). Să vedem ce iese. Avem
$$A_{trapez}=\frac{Bi}{2}+\frac{Bh}{2}-\frac{bi}{2}=\frac{b(i+h)}{2}+\frac{Bh}{2}-\frac{bi}{2}=\frac{bi}{2}+\frac{bh}{2}+\frac{Bh}{2}-\frac{bi}{2}.$$
Aici observăm că $\frac{bi}{2}$ se reduce, așa că ne rămâne formula finală a ariei trapezului:
$$A_{trapez}=\frac{bh}{2}+\frac{Bh}{2}=\color{blue}{\frac{(b+B)h}{2}}.$$
A fost destul de lungă determinarea legăturii complete dintre triunghi și trapez. Și ca să nu mai treceți prin acest calvar altă dată, eu vă recomand să învățați bine formula ariei trapezului. Ați văzut că dacă știți formula ariei trapezului, atunci o știți și pe cea a triunghiului. Ba, mai mult, tot din aria trapezului puteți obține chiar și formula ariei paralelogramului (deci și a dreptunghiului), căci paralelogramul nu este altceva decât un trapez cu bazele egale, deci cu B=b. De altfel, un obiectiv important al profesorilor buni trebuie să fie acela de a vă învăța să memorați cât mai puțin și să deduceți cât mai mult, iar eu asta mă voi strădui mereu să fac aici pentru voi.
Niciun comentariu:
Trimiteți un comentariu
Exprimați-vă părerea despre articol sau cereți lămuriri suplimentare, ca să transmitem cât mai multă informație celor care au nevoie de ea.
Comentariul va apărea după un anumit interval de timp necesar moderării.