Faceți căutări pe acest blog

marți, 26 august 2014

Grade sau radiani?

Mulți începători se feresc de radiani pentru că n-au înțeles mai nimic legat de aceștia. Haideți să vedem ce putem face pentru a clarifica lucrurile.

Așa cum gradele sau kilogramele sunt unități de măsură, tot astfel și radianii sunt unități de măsură. De exemplu, putem vorbi de 7 radiani sau 1532 de radiani. Acestea sunt unghiuri. Chiar foarte mari. De exemplu, primul unghi pe care l-am dat, deci unghiul de 7 radiani, are cam 401 grade. Este un unghi destul de mare. Ce să mai vorbim despre unghiul de 1532? Acesta din urmă are aproape 88 de mii de grade! Ciudat, nu?

Deci, o primă concluzie pe care o putem trage este că radianii sunt „mai puțini” decât gradele. Altfel spus, dacă veți transforma vreodată un unghi din grade în radiani, va trebui să obțineți un număr mai mic. Invers, dacă veți transforma din radiani în grade, va trebui să obțineți un număr mai mare.

Totuși, nu ne-am înțeles încă asupra radianilor. De ce dumnezeu unii vorbesc de exemplu despre „doi pi radiani”? De ce nu spun simplu doar „doi radiani” sau „șapte radiani”? De ce adaugă cu răutate și cuvântul acela ciudat, „pi”?

Hmmm... Răspunsul direct ar fi: pentru precizie. Este mai precis, mai riguros să spui „doi pi radiani” decât să spui „6,28 radiani”. Asta pentru că „pi” nu este exact 3,14, ci este puțin mai mult de-atât. De exemplu, o valoare mai precisă (dar tot aproximativă) a lui pi este $\pi\approx 3,1415926$. Desigur, vă dați seama ce haos ar fi în matematică dacă am opera cu asemenea zecimale. Și-atunci nu mai bine folosim un simplu cuvânt „pi” în locul atâtor zecimale? Evident că da.

Bun, acum că am înțeles de ce folosim cuvântul „pi”, haideți să înțelegem și cum folosim această noțiune. Pornim de la o echivalență importantă: un unghi care are 180 de grade este un unghi care are pi radiani. Mai exact, avem ceva de genul $\color{red}{180\equiv\pi}$, unde semnul „$\equiv$” înseamnă „echivalent” și ne spune că un unghi de 180 de grade este egal cu un unghi de $\pi$ radiani.

Acum să vedem niște calcule. De exemplu, vreau să transform un unghi de 360 de grade în radiani. Cum fac? Echivalența anterioară îmi spune că peste tot unde văd 180 de grade, eu pot pune în loc $\pi$. Doar că 360 de grade nu ne arată nimic cu 180. Așa să fie oare? Da de unde. Păi, $360=2\cdot 180$. Așadar $360\equiv 2\cdot\pi=2\pi$, adică un unghi de 360 de grade este egal cu un unghi de doi pi radiani. Hmmm... Făinuț, nu-i așa?

Făinuț, făinuț... Cu un unghi mai mare de 180 de grade ne-am descurcat binișor. Dar ce ne facem dacă ni se cere să transformăm în radiani un unghi mai mic decât 180 de grade? Ce ne facem, de exemplu, dacă ni se cere transformarea pentru unghiul de 90 de grade? Cum „ce ne facem”? Dar în cazul unghiului mai mare ce am făcut? Am căutat în el un unghi de 180 de grade ca să-l transformăm urgent în pi. De ce n-am face și în acest caz la fel? Ia să vedem. Deci, avem de transformat un unghi de 90 de grade... Și nu are acest unghi în el ceva cu 180? Hmmm... Ba da, are! Cum să nu? Căci putem să scriem $90=\frac{180}{2}$. Și înlocuim repede, repede pe 180 cu $\pi$ și obținem că un unghi de 90 de grade este egal cu un unghi de $\frac{\pi}{2}$ radiani.

Ei, nu-i așa că începe să apară ceva mai simplu? Dar haideți să facem problema și mai simplă. Adică, să vedem cum putem scăpa de „chinul” descoperirii lui 180 într-un unghi dat în grade. Să presupunem că ni se dă un unghi de $g$ grade și vrem să vedem câți radiani $r$ are acest unghi. Avem relația următoare, extrem de sugestivă:
$$\color{blue}{r}\color{red}{=\frac{g}{180}\cdot}\color{blue}{\pi}.$$
Iar de aici rezultă automat și relația de transformare inversă, din radiani în grade:
$$\color{blue}{g}\color{limegreen}{=\frac{r}{\pi}\cdot}\color{blue}{180}.$$
Vă rog să observați o chestie faină pe care am colorat-o în albastru: „terminăm exact cu ceea ce începem”. Mai exact, dacă începem cu „r” de la radiani, atunci formula se termină cu „$\pi$”. Dacă începem cu „g”, de la grade, atunci formula se termină cu „180”.

Mult succes!