Din Cauchy rezultă Lagrange, iar din Lagrange rezultă Rolle

În clasa a XI-a învățați la Analiza Matematică aceste trei teoreme importante legate de derivate. Vreau aici să vă arăt că este suficient să o rețineți pe prima, iar restul pot fi deduse din aceasta. Și puteți observa de la bun început că însuși numele acestor mari savanți, aranjați în ordine alfabetică, ne avantajează să reținem legătura de succesiune dintre teoremele lor: Cauchy, Lagrange, Rolle.

Să începem, deci. Începem, desigur, cu teorema lui Cauchy. Această teoremă ne spune cam următorul lucru:
$$\frac{\text{diferența lui f}}{\text{diferența lui g}}=\frac{\text{derivata lui f}}{\text{derivata lui g}}.$$
Am putea simplifica și mai mult și să reținem doar atât din ce spune teorema:
$$\color{red}{\text{diferența=derivata}}.$$

Dar, desigur, la școală este inacceptabilă o asemenea simplificare. Un profesor care ar începe să vorbească despre teorema lui Cauchy spunând că această teoremă nu afirmă nimic altceva decât că „diferența este egală cu derivata” ar putea părea cel puțin neserios. Eu însă risc asta pentru voi, deoarece doresc să învățați să extrageți mereu esențialul din ceea ce vi se predă la școală, singurul care vă va rămâne în minte peste ani (știu asta din experiență ).

Și dacă o asemenea simplificare este, totuși, inacceptabilă în școală, haideți să ne apropiem încet de forma riguroasă a acestei teoreme. Altfel spus, pornind de la esențialul „diferența=derivata”, vom tot adăuga câte o „haină”, câte un amănunt, acestui nucleu al teoremei, până când vom ajunge la forma ei finală, forma îmbrăcată cu haine elegante.

Prima haină, prima trecere pe care o facem de la „diferența=derivata” va fi fracția. Adăugând această haină, obținem forma:
$$\frac{\text{diferența lui f}}{\text{diferența lui g}}=\frac{\text{derivata lui f}}{\text{derivata lui g}}.$$

Apoi, mai punem încă o haină și explicităm la ce diferență ne referim. Avem atunci
$$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{\text{derivata lui f}}{\text{derivata lui g}}.$$

Următoarea haină ne explicitează și derivata:
$$\color{red}{\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}}.$$

Mai trebuie să punem niște haine ca să vedem cine sunt literele $a$, $b$ şi $c$. Făcând aceasta, obținem forma bine îmbrăcată a teoremei lui Cauchy:

Dacă funcțiile $f$ și $g$ definite pe intervalul închis $[a; b]$ și cu valori în $\mathbb{R}$ sunt continue pe $[a; b]$, derivabile pe $(a; b)$ și $g'(x)$ nu se anulează nicăieri în intervalul $(a; b)$, atunci există un număr $c\in(a; b)$, astfel încât

$$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}.$$

Aceasta este teorema lui Cauchy. Ați văzut, deci, că din toată tărășenia asta pe care am albăstrit-o eu, voi puteți reține esențialul teoremei lui Cauchy, și anume: „diferența=derivata”.

Acum mergem mai departe, să vedem cum obținem teorema lui Lagrange din teorema lui Cauchy. Forma bine îmbrăcată a teoremei lui Lagrange este:

Dacă funcția $f$ definită pe intervalul închis $[a; b]$ și cu valori în $\mathbb{R}$ este continuă pe $[a; b]$ și derivabilă pe $(a; b)$, atunci există un număr $c\in(a; b)$, astfel încât

$$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c).$$

Ei bine, cum rezultă teorema lui Lagrange din teorema lui Cauchy? Observați un singur lucru: teorema lui Lagrange este teorema lui Cauchy în care funcția $g(x)$ este tocmai cea mai simplă funcție neconstantă, adică $\color{red}{g(x)=x}$. Pentru această funcție sunt îndeplinite condițiile din teorema lui Cauchy, deoarece $g(x)=x$ este continuă și derivabilă pe $[a; b]$. De asemenea, $g'(x)=1$, deci nu se anulează nicăieri. Prin urmare

$$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}$$

devine echivalentă cu 

$$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=\frac{f'(c)}{1},$$

adică, exact ceea ce afirmă teorema lui Lagrange.

În fine, să vedem de ce teorema lui Rolle rezultă din teorema lui Lagrange. Teorema lui Rolle ne spune:

dacă funcția $f$ definită pe intervalul închis $[a; b]$ și cu valori în $\mathbb{R}$ este continuă pe $[a; b]$, derivabilă pe $(a; b)$ și, în plus, $f(a)=f(b)$ atunci există un număr $c\in(a; b)$, astfel încât

$$f'(c)=0.$$

Observați, desigur, că dacă în teorema lui Lagrange punem condiția suplimentară ca $f(a)=f(b)$, atunci, evident, fracția capătă numărătorul nul și deci se anulează în întregime, ducând la concluzia finală că $f'(c)=0$.

Așadar, iată ce se poate obține pornind de la esențialul „diferența=derivata”. În ultimă instanță, mesajul este cât se poate de logic, din moment ce știm că derivata însăși este o fracție de diferențe, atunci când acele diferențe devin extrem de mici.