Un determinant de ordinul trei. Regula lui Sarrus, regula triunghiurilor și proporționalitatea

Enunț:
Fie matricea $A=\begin{pmatrix}
2&-6&5\\
4&-12&10\\
16&-48&40\\
\end{pmatrix}$.
Să calculeze determinantul  acestei matrice.

Rezolvare. Un elev grăbit, care se va bucura că problema primită la bacalaureat este atât de simplă, își va aminti repede că un determinant de ordinul 3 se poate calcula cu regula lui Sarrus și se va apuca sârguincios de treabă. Astfel, el va copia primele două rânduri ale matricei și le va pune dedesubtul acesteia, obținând
$$\det A=\begin{vmatrix}
2&-6&5\\
4&-12&10\\
16&-48&40\\
\end{vmatrix}.\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\begin{matrix}
2&-6&5\\
4&-12&10\\
\end{matrix}$$

Apoi, se va apuca să facă produsele care se cuvin, conform regulii lui Sarrus, pe diagonală. Pentru aceasta, el va înmulți întâi diagonala principală
$$\det A=\begin{vmatrix}
\color{red}{2}&-6&5\\
4&\color{red}{-12}&10\\
16&-48&\color{red}{40}\\
\end{vmatrix}\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\begin{matrix}
2&-6&5\\
4&-12&10\\
\end{matrix}$$
și va obține produsul $p_1=2\cdot(-12)\cdot 40=-960$. Apoi va trece la diagonala următoare, paralelă cu diagonala principală

$$\det A=\begin{vmatrix}
2&-6&5\\
\color{red}{4}&-12&10\\
16&\color{red}{-48}&40\\
\end{vmatrix}\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\begin{matrix}
2&-6&\color{red}{5}\\
4&-12&10\\
\end{matrix}$$
și va obține $p_2=4\cdot(-48)\cdot 5=-960$. În fine, va termina cu ultima diagonală paralelă cu diagonala principală
$$\det A=\begin{vmatrix}
2&-6&5\\
4&-12&10\\
\color{red}{16}&-48&40\\
\end{vmatrix}\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\begin{matrix}
2&\color{red}{-6}&5\\
4&-12&\color{red}{10}\\
\end{matrix}$$

obținând, culmea, $p_3=-960$, același rezultat ca și pentru celelalte produse.

Chinuit de coincidența tulburătoare a acestor trei rezultate, își va face meseria mai departe, așa cum știe că trebuie procedat la calculul determinanților de ordinul 3 conform regulii lui Sarrus. Mai exact, el va trece să calculeze de-acum cele trei produse obținute pe diagonalele paralele cu diagonala secundară și va avea

$$\det A=\begin{vmatrix}
2&-6&\color{blue}{5}\\
4&\color{blue}{-12}&10\\
\color{blue}{16}&-48&40\\
\end{vmatrix}.\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\begin{matrix}
2&-6&5\\
4&-12&10\\
\end{matrix}$$
Va nota atunci că $p_4=5\cdot(-12)\cdot 16=-960$. Bănuind corect că nu va mai vedea altceva decât acest ciudat $-960$, va mai calcula apoi
$$\det A=\begin{vmatrix}
2&-6&5\\
4&-12&\color{blue}{10}\\
16&\color{blue}{-48}&40\\
\end{vmatrix}\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\begin{matrix}
\color{blue}{2}&-6&5\\
4&-12&10\\
\end{matrix}$$
și, respectiv,
$$\det A=\begin{vmatrix}
2&-6&5\\
4&-12&10\\
16&-48&\color{blue}{40}\\
\end{vmatrix},\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\begin{matrix}
2&\color{blue}{-6}&5\\
\color{blue}{4}&-12&10\\
\end{matrix}$$
obținând de fiecare dată $-960$, adică $p_5=-960$ și $p_6=-960$.

Fiind acum în posesia celor șase produse, va face calculul final conform regulii lui Sarrus, adunând produsele paralele cu diagonala principală și scăzând produsele paralele cu diagonala secundară. Așadar, va obține $$\det A=\color{red}{p_1+p_2+p_3}\color{blue}{-p_4-p_5-p_6}=$$
$$=\color{red}{-960-960-960}\color{blue}{+960+960+960}=0.$$

Da, tocmai 0! A ajuns la un rezultat atât de banal, după un calcul atât de anevoios... Nu cumva este ceva putred la mijloc? Nu cumva putea ajunge mai repede la un asemenea rezultat? Oare examinatorul ar fi mulțumit de această rezolvare sisifică a elevului nostru? Mă îndoiesc...




Dar ce se putea face mai rapid, totuși, din moment ce acest simplu rezultat final ar fi fost atât ușor de prevăzut? Ar fi trebuit, oare, folosită regula triunghiurilor? Hmmm... Poate că un elev familiarizat cu regula triunghiurilor nu s-ar mai fi chinuit să coboare primele două rânduri și ar fi obținut produsele anterioare făcând înmulțirile direct prin triunghiurile cu laturile mici paralele cu diagonala principală,
$$\det A=\begin{vmatrix}
\color{red}{2}&-6&5\\
4&\color{red}{-12}&10\\
16&-48&\color{red}{40}\\
\end{vmatrix},$$


$$\det A=\begin{vmatrix}
2&-6&\color{red}{5}\\
\color{red}{4}&-12&10\\
16&\color{red}{-48}&40\\
\end{vmatrix}$$
și
$$\det A=\begin{vmatrix}
2&\color{red}{-6}&5\\
4&-12&\color{red}{10}\\
\color{red}{16}&-48&40\\
\end{vmatrix},$$
respectiv, cu laturile mici paralele cu diagonala secundară,
$$\det A=\begin{vmatrix}
2&-6&\color{blue}{5}\\
4&\color{blue}{-12}&10\\
\color{blue}{16}&-48&40\\
\end{vmatrix},$$

$$\det A=\begin{vmatrix}
\color{blue}{2}&-6&5\\
4&-12&\color{blue}{10}\\
16&\color{blue}{-48}&40\\
\end{vmatrix}$$

și

$$\det A=\begin{vmatrix}
2&\color{blue}{-6}&5\\
\color{blue}{4}&-12&10\\
16&-48&\color{blue}{40}\\
\end{vmatrix},$$

obținând și el, desigur, același rezultat nul în final. Dar oare elevul care aplică regula triunghiurilor poate fi mulțumit de metoda pe care a aplicat-o? A câștigat el mult mai mult timp decât elevul din metoda lui Sarrus? Desigur, nu prea. Și acest elev a muncit din greu ca să afle rezultatul acesta banal.





Și atunci ce este de făcut? Hmmm... Păi, examinatorul ar cam fi dorit ca elevul să-și amintească una dintre cele mai importante proprietăți ale determinaților, cea privind proporționalitatea: orice determinant care conține două linii (sau, echivalent, coloane) proporționale este nul.

Așadar, un elev ceva mai atent nu se va angaja din prima în calcule sisifice, ci va trebui să aibă două momente de luciditate pentru a rezolva problema:

1. Să-și amintească regula proporționalității;
2. Să observe două linii sau coloane proporționale în determinant.

Aceste două momente de luciditate îi vor permite să câștige foarte mult timp, pe care l-ar putea folosi la rezolvarea altor probleme.

Dar să vedem, totuși, dacă determinantul nostru are două linii sau două coloane proporționale. Dacă privim atent determinantul, observăm că deja chiar primele două linii sunt proporționale:

$$\det A=\begin{vmatrix}
2&-6&5\\
\color{red}{2}\cdot 2&\color{red}{2}\cdot (-6)&\color{red}{2}\cdot 5\\
16&-48&40\\
\end{vmatrix},$$
deci, există un număr (în cazul nostru, numărul $2$), astfel încât elementele uneia dintre linii (în cazul nostru, elementele liniei 2) se obțin prin înmulțirea cu acel număr a elementelor corespunzătoare de pe altă linie (în cazul nostru, de pe linia 1).

Desigur, observați că cel care a conceput problema a fost foarte darnic cu elevul, deoarece toate liniile și chiar toate coloanele acestui determinant sunt proporționale. Așa că, dacă cumva elevul ar fi analizat determinantul doar după coloane, tot ar fi constatat proporționalitatea necesară și ar fi ajuns la concluzia iminentă conform căreia acest determinant este nul.

Așa că fiți mereu atenți la eventualitatea foarte probabilă ca problema dată să poată fi abordată printr-o metodă simplă.